このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
18回目の今回は2002年になります。
第1問
特殊な数列に関する問題です。
(1)kの符号で場合分けして考えます。まず、k=0なら漸化式から常にan=1になります。
k<0の場合は、anはどんどん2倍されていき、いつかは1になって、以後はずっと1になります。k>0の場合は初手で逆数を取るので、k<0の状況に帰着されます。
(2) 実験をしてみると、mよりも後の項では同じ数が周期的に繰り返すことが分かります。mより前は言うまでもなく公比2の等比数列になります。
＜筆者の解答＞
第2問
関数の積分値に関する問題です。
f(x)=ax^2+bx+c, g(x)=px^2+qx+rと文字でおくと、問題文の条件から全ての文字をaの式で表現できます。
あとは式に代入して積分をガリガリ計算し、平方完成に持ち込みましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
放物線と円が接する条件を考える問題です。
(1)図を描くと、a>0, b<0でないといけないことはすぐに分かります。その上で、放物線と円の式を連立した式が重解を持つ条件を整理してrをa,bの式で表現しましょう。
その上で、「rが存在する」ので、求まったa,bの式が0より大きくないといけません。
(2) (1)の結果をab平面に図示して、円a^2 + b^2 =R^2が(1)の領域と交点を持つようなRの条件を考えます。
＜筆者の解答＞
第4問
球面上の点に関する「なす角」を考える問題です。
問題文の条件から、A(r,0,0), B(0,r,0)と座標設定しても問題ないので、この下で考えると見通しがよくなります。C(a,b,c)、∠AOC=α, ∠BOC=βとおいて、問題文にある条件を全て数式にしておきましょう。
(1) OA⊥OCのときa=0がわかるので、そこから芋づる式に色々な値が分かっていきます。
(2)直線AB上の点Pは(r(1-p), rp, 0)とかけるので、PCの距離をpの式で表してpを動かしたときの最小値がdになります。
dが求まったら、これまでの情報全てを動員してdをαだけの式で表現しましょう。最終的には、t=cosα+√3sinαと変換して考えないと、最大値を考えるのが厳しいです。
全体的に計算量の膨大な難問と言えるでしょう。
＜筆者の解答＞
