このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
19回目の今回は2001年になります。
第1問
角度の最大値を考える問題です。
(1)(2)ともに、余弦定理を使って考えていくとよいでしょう。cosが最小になるとき、sinは最大となります。
(2)については、三角比を使わずに図形的に解く別解があります。円周角の定理を考えてあげると、B,Cを通ってy軸に接する円の円周上にPがあれば∠BPCは最大となります。
＜筆者の解答＞
(2)別解
第2問
方程式の実数解に関する問題です。
(1) f(x)=e^x -e^(-x) -2xとして微分するとf(x)が単調増加なことが分かります。ということは、問題文の方程式の実数解は最高でも1個しかないことになります。
(1)p=0の場合とp≠0の場合に分けて左辺の積分を計算します。後者の場合(1)の方程式に帰着します。
＜筆者の解答＞
第3問
行列の問題です。
(1)AX=XAなので、両辺の成分比較をします。
(2)の結果を使うと、x=p+4q, y=4p+qと変換すると題意が示せます。この連立方程式p,qについて解けば、どんなx,yに対してもp,qが構成できることが分かります。
＜筆者の解答＞
第4問
面積の計算問題です。
(1) Kの一辺の長さが1/nなので、Pの周りに半径1/nの扇形をKの外側に作ればよいと分かります。
(2)いきなりn→∞としてから面積を考える方法（本解答）と、Snを計算してから極限を取る方法（別解）の2通りがあります。
前者の場合、n→∞とするとKは半径1/πの円になります。なので、長さ1のひもの1端を円に固定して弛まないようにKの周りに巻き付けたときのひものもう一端の軌跡を考えます。
後者の場合、Snは扇形の集合体になるのでΣを使ったnの式で表せます。極限の計算には区分求積法を用いると楽になります。
＜筆者の解答＞
(2)別解
