このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
29回目の今回は1991年になります。
第1問
方程式の実数解に関する問題です。
(1) 因数分解をすると、x=1が解の一つだと分かります。
(2) 残りの因数が実数解を持つようなpの条件を決めて、解と係数の関係を使ってtan(α+β)をpの式で表してあげればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
球と直線が接する条件を求める問題です。
m上の点が( (c+3)/√5, (c+2)/√2, c)とパラメータ表示できるので、それを中心の座標にしてあげればよいです。
直線と球が接する条件は、直線と中心との距離＝半径になることなので、この条件からcと半径rの方程式が2本立ち、それらを連立することでSの式が求まります。
＜筆者の解答＞
第3問
点の速度に関する問題です。
(1)PQ=1を利用すればqが求まりますが、符号に注意しましょう。
(2)Pの速さ=1という条件からdx/dtがxの式で表現でき、これを利用すればQの速さをxの式で表現できます。
＜筆者の解答＞
第4問
回転体の体積に関する問題です。
V(a)は積分の形で書くことができますが、積分の計算は困難です。しかしaで微分すると積分が外れるので、通常の符号調べに持ち込むことができます。
「V(a)の最大値を求めよ」でないことが救いですね。
＜筆者の解答＞
