このシリーズでは、平成の九大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
19回目の今回は2001年になります。
第1問
楕円と直線の回転体についての問題です。
(1) 定石通りに回転体の体積を計算すればよいでしょう。
(2)Lの式からLのx切片とy切片が求まります。Lの回転体は円錐になるので、その円錐から(1)の立体の半分を引けばVになります。
問題文には「s,tの式で求めよ」とありますが、aとbを綺麗に消去する方法が思いつかなかったので、a,b,s,tがすべて混じった式で留めています。
（s,tをs=acosθ, t=bsinθと変換しても、θが残ってしまいます）
(3) s=acosθ, t=bsinθと変換すれば、Vをθだけを変数とする関数で表現できるので、分母を微分して増減を調べましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
不等式証明の問題です。
(1) 与式をひたすら同値変形していきます。a=b=cのとき等号成立しそうなので、(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2を作ることを意識して式変形するとよいでしょう。
(2) 数学的帰納法を使って証明していきます。
＜筆者の解答＞
第3問
陰関数の増減と極限に関する問題です。
g(x)はxの式でストレートに書くことが出来ず、log g(x)/g(x) = logx/xを満たすxでない関数、として間接的に定義されます(このような関数を陰関数と言います）。
(1) 上記の等式のg(x)をtxに置き換えてxについて解いて行けばよいでしょう。
(2) 対数を取ってから極限を取るとよいでしょう。αについてはtlogt→0 (t→0)を、βについてはネイピア数eの定義を利用します。
(3) 上記の等式をxで微分すると、g'(x)をxとg(x)の式で表現できます。このときにxとg(x)の位置関係をグラフで書くと符号が見えてきます。
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題です。
(1)いわゆる反復試行の確率という奴です。
(2) (1)の結果をk=1,2,・・・,nですべて足し上げます。特にΣを計算できるわけでもなさそうなので、Σの形をそのまま残して答えです。(3)を見越すと、ますますΣを計算する意義はなさそうです。
(3) 区分求積法によってPの極限は積分の形で書くことができます（ (2)でΣをそのまま残したことがここで生きてきます）
ここで登場する積分は「ベータ関数」とよばれる特殊なタイプの積分で、I(m,n)=∫t^m(1-t)^ndtとおいてI(m,n)の漸化式を作ることで解くことができます。
結果、Pの極限はなんとiによらないrだけの式になります。なんとも不思議な感じがしますね。
＜筆者の解答＞
