このシリーズでは、平成の九大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
27回目の今回は1993年になります。
第1問
3次元の写像を考える問題です。
(1) Sの式をz=ax+byとおいてaとbを決定すればよいです。
(2) QがS上にあり、PQがSの法線ベクトルと平行なことを利用してQの座標をPの座標で求めます。
＜筆者の解答＞
第2問
放物線群を考える問題です。
(1) P(a,b)としたときに、Pを通るようなkは、存在しないか一意に決まるかであることを示せばよいです。
(2) Ckの頂点の座標をkの式で表現してkを消去すれば軌跡が求まり、さらにkの範囲からx座標の取りうる値をチェックします。
＜筆者の解答＞
第3問
反比例のグラフと絡んだ正三角形に関する問題です。
(1)左からn番目のy=1/x上にある頂点をPn(bn, 1/bn)として、bn, an, Snの関係を考えていけばよいでしょう。
(2) (1)の結果を使って、Sn=a√nを帰納法で示すとよいでしょう。その際、an=Sn - Sn-1 が使えます。
(3) (2)の結果を使うとan=a(√n - √n-1 )が求まるので、これを利用します。分子の有理化を使ってもよいですし、(1)の関係式を利用してもよいです。
＜筆者の解答＞
第4問
微分方程式に関する問題です。
(1)x=0を代入すると積分区間の両端が一致するので、f(0)=0はすぐに分かります。f'(x)を求める際は、sinを展開してtと関係ない係数を積分の外に出すと見通しがよくなります。
(2) f''(x)を計算するとうまい事積分が丸ごとf(x)に置き換わってくれます。
(3) (2)の結果を使ってf(x)を求めればよいでしょう。2回積分するので積分定数が2種類出てきます。それらを(1)の結果を利用して確定させましょう。
＜筆者の解答＞
