このシリーズでは、平成の東北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
24回目の今回は1995年になります。
第1問
空間図形の問題です。
(1) ABベクトルとACベクトルを求めて、絶対値と内積を計算するのみです。
(2) Sの式をz=ax+by+cとおいて、連立方程式を解けばよいです。
(3) (2)の結果からSの法線ベクトルが分かり、(1)の結果から△ABCは正三角形だと分かります。このことから、△ABCの内心Iを通りSに垂直な直線は球面の中心を通ることが分かり、実はその直線がOを通ることも分かります。
これらの知見を使って、半径と中心の座標を調べていきます。
<筆者の解答>
第2問
楕円の面積に関する問題です。
問題文の領域は簡単に図示できるので積分によって面積を計算するのですが、直接問題の面積を計算するよりかは、「楕円全体からそぎ落とす」という戦略の方が積分計算が楽に進みます。
<筆者の解答>
第3問
確率漸化式の問題です。
問題文の設定から漸化式はすぐに立つので、誘導に従って漸化式を解いていけばOKです。
<筆者の解答>
第4問
放物線の法線の本数を調べる問題です。
(1) ltの式を計算すれば、tに関する3次方程式が得られます。
(2) (3)
(1)で得られたtの3次方程式の実数解の個数が、ltの本数になります。なので、方程式の左辺を微分することで増減を調べていきましょう。
<筆者の解答>
第5問
絶対値付き関数の増減と積分の問題です。
(1) 絶対値が付いているので、xの値で場合分けした後に微分していきます。
(2) 部分積分で積分は直接計算できるので、極限計算は容易です。
<筆者の解答>