このシリーズでは、平成の東北大文系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
基本的に文系ユニーク問題のみ解きますので、理系との共通問題については、理系の記事をご参照ください。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系後期数学 -1995年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
24回目の今回は1995年になります。
第1問
ベクトルに関する計算問題です。
(1) Apを計算することでsをtの式で表現できます。それを利用して不等式を証明していきますが、両辺を2乗して差をとるのが良いでしょう。
(2) (1)の知見を使うと、|Ap|/|p|をtの式で表現でき、|Aa|/|a|はt=2の場合に相当します。
<筆者の解答>
第2問
四面体の体積を計算する問題です。
(1) ABベクトル、ACベクトルを計算することで△ABCの面積を計算できます。
(2) A,Bを通ることから平面ABCの式はx/4+y/b+z/2=1と書くことができるので、あとはCを通る条件からbを確定させます。
(3) Dと平面ABCとの距離を計算すれば、(1)も使って四面体の体積が計算できます。
<筆者の解答>
第3問
3項間漸化式の問題です。
与えられた漸化式を実際に解いて、θが見つかるかどうかを議論していきます。
漸化式を解く際は特性方程式を解く必要がありますが、c=1の場合だけ特性方程式の解が重解を持つので例外扱いになります。c=1の場合と0≦c<1の場合に分けて漸化式を解いていきましょう。
<筆者の解答>
第4問
絶対値付き関数の積分に関する問題です。
(1) 絶対値の中身と、後続の引かれる関数が全く同じ形をしているので、中身が正ならf(x)=0になります。このことに注意してグラフを書いていきます。
(2) g(x)の値は、(1)のグラフの面積として計算することができます。
(3) g'(x)=3/2となるxを探して、接線を計算します。
<筆者の解答>