私大文系入試で最高難易度と呼び声の高い、早稲田大学商学部の数学の問題を解いていきます。
21回目の今回は2002年です。
第1問(1)
並び替えの問題です。
sとtが2つずつあるので、全体から「sとtのいずれかが隣り合う並べ方」を引く作戦でよいでしょう。２つのsとtはそれぞれ区別できないことに注意します。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
2つの放物線の共通接線に関する問題です。
x=sでのy=x^2の接線と、x=tでのy=-x^2+3x-2の接線が一致するようにs,tを決めていけばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
3次方程式の問題です。
解の実部がすべて等しいのだとすると、解の一つは必ず実数なので解をb, b+ic, b-icと置くことができます。ここから、解と係数の関係を使えばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
数列に関する問題です。
「同じ数が高々7個しかない」という日本語の解釈が難しい所ですが、私は「１つの数字が登場する回数は7回まで」と解釈して解きました。
この解釈の下では、初項a1が1で、d1~d33の内訳が、1~4が7個ずつ,5が5個、であればa34を最小にできます。
＜筆者の解答＞
第2問
図形問題です。
(1) P(1,p)としたときに、Qの座標がどうなるかを、加法定理を使って調べる作戦が良いと思います（ベクトルの内積での処理を試しましたが、行き詰まってしまいました）。
このときにQのy座標が0以上になるようにpの条件を決めていけばよいでしょう。
(2) (1)の結果から△POQの面積はpの分数式で表現できます。数Ⅲを知っている人であれば、ここから直接微分して増減を調べに行くのですが、知らない場合は、相加相乗平均を使えるように辻褄合わせをする方法でよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
複素数の数列の問題です。
(1)漸化式に従ってz5まで調べればよいでしょう。
(2) (1)の結果から規則性が予測できるので、帰納法で証明すればよいです。nの偶奇による場合分けが発生します。
(3) 番号の偶奇で分けると実質等比数列の和の計算になり、公比が複素数であっても実数の場合と同じように計算できます。最後の場面で「複素数の1001乗」の計算が必要ですが、ド・モアブルの定理で計算可能です。
＜筆者の解答＞
