このシリーズでは、平成の京大文系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
原則、文系ユニークの問題のみ解きますので、理系との共通問題については理系の記事をご覧ください。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系後期数学 -2003年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
4回目の今回は2003年になります。
第1問
ベクトルの問題です。
(i)は、AP=sAB+tAC (0<s<1, 0<t<1, 0<s+t<1)と数式で言い換えられるので、これを使って式変形して証明していきましょう。
<筆者の解答>
第2問
関数で囲まれる面積を計算する問題です。
まずは、f(x), g(x)の形をはっきりさせるのが先決でしょう。y=2x, y=5-x, y=2のグラフを書くことでf(x)を決定できるので、自ずとg(x)が決まりグラフをかけます。こうなれば積分計算をするのみです。
<筆者の解答>
第3問
図形問題です。
P(cosθ, sinθ), Q(-sinθ, cosθ) (0<θ<π/2)と書くことができるので、これを使って三角形の面積をθの式で表現していけばよいでしょう。
<筆者の解答>
第4問
四面体の体積を計算する問題です。
△ABCが直角三角形になっていることに気付けると、座標を設定して処理すればよさそうだと分かります。
A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,4,0), D(a,b,c)としてa~cの値を確定させていきましょう。
<筆者の解答>
第5問
(1) 等差数列×等比数列の形のΣなので、公比をかけて辺々引き算するのが定石となります。
数Ⅲ範囲でなら別解があり、それは、与式が1+z+z^2+・・・+z^n=(1-z^n+1)/(1-z)を微分したものだという性質を使ったものになります。
(2) z=cos40+isin40, n=9とすれば(1)の結果を使うことができます。元の式の虚部と(1)の結果の虚部を比較してあげればよいでしょう。
証明する式の右辺にtan20が入っているので、計算の途中で2倍角の公式を使いそうだと予想できそうですね。
<筆者の解答>