このシリーズでは、平成の京大文系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
原則、文系ユニークの問題のみ解きますので、理系との共通問題については理系の記事をご覧ください。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系後期数学 -1999年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
8回目の今回は1999年になります。
第1問
理系第1問と共通の問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
三角関数に関する問題です。
この問題は、式変形と言った代数の知識だけだと解くのが厳しいと思います。
よくよくα, βの条件を見ると「三角形の内角にできる」と気付けると思います。こう発想すると、「正弦定理が使える」と思い至ることができます。
正弦定理を使ってあげると、与える式は三平方の定理の式に置き換わるので、α+β=90°だとわかり、ここまでくれば、sinα+sinβをαだけの式で書け、値域が容易に調べられます。
＜筆者の解答＞
第3問
格子点を数える問題です。
3番目の不等式の左辺はy≦x×2^xとできるので、領域図示できます。直線x=k(k=1,2,・・,n)上にある格子点を数えて足し上げればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
3本の接線が引ける条件に関する問題です。
まずは、3本の接線を引ける点Pの存在条件Dkを調べましょう。最終的に、AがDkのなかにすっぽり収まる条件が、求めるkの必要十分条件になります。
x=tでの3次関数の接線がP(a,b)を通る条件を求めて、そのようなtが3つ求まるようなa,bの条件がDkとなりますので、微分を使って増減を調べましょう。
Dkが求まったら、視覚的にAがその中にすっぽり入るようなkを調べていきます。
領域の境界線を含むか含まないかの検討が地味にひっかけポイントになっているので注意です。
＜筆者の解答＞
第5問
原始ピタゴラス数に関する問題です。
(1)平方数を4で割った余りは0か1になることを利用して背理法で証明できます。
(2) aとbが互いに素という条件と、c-aとa+cが偶数という条件から、(c-a)/2と(a+c)/2が互いに素だと分かります。
互いに素な２つの自然数の積が平方数となるので、その2つの自然数の各々が平方数でないといけません。
この原始ピタゴラス数については、以前個別に記事を書いているので、良ければご参照ください。
フェルマーの最終定理のn=2の場合は答えは無数にある ～ピタゴラス数～ - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
＜筆者の解答＞
