このシリーズでは、平成の京大文系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
原則、文系ユニークの問題のみ解きますので、理系との共通問題については理系の記事をご覧ください。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系後期数学 -1991年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
16回目の今回は1991年になります。
第1問
ベクトルを使った図形の証明問題です。
P1~P4がこの順番で反時計回りに並んでると考えても、対称性から問題ありません。
ベクトルの式から内積の情報を引き出すと、∠P1OP2=∠P3OP4, ∠P1OP4=∠P2OP3が分かるので、P1P3とP2P4が円の直径になっていることが分かります。あとは、円周角の定理から四角形の4隅がすべて90°になっていることをチェックすれば、長方形であると言えます。
<筆者の解答>
第2問
数列の不等式評価の問題です。
状況を図に描いてあげると、xnの漸化式を作ることができるので、それを使って数学的帰納法で証明します。
<筆者の解答>
第3問
3次関数の接線に関する問題です。
Qのx座標をtとすると、Pでの接線とQでの接線が直交する条件をpとtの式で書くことができます。あとは、その式をtの方程式と見なしたときに実数解を持つようにpの条件を求めてあげます。
<筆者の解答>
第4問
理系第4問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第5問
理系第5問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。