このシリーズでは、平成の東京工業大学の後期日程の数学の問題を解いていきます。
6回目の今回は2006年です。
第1問
点の軌跡と、回転体の体積を計算する問題です。
(1) P'の座標を(cosθ/√a, -sinθ/√b)と書くことができるので、Pの座標が(cosθ/√a, tcosθ/√a)とかけて、PP'をθの式で書くことができます。PP'が最大になるようなθを合成で求めてあげればPの座標がtだけで書け、tを消去すればf(x)が求まる、という筋書きです。
(2) f(x)とax^2+by^2=1を連立すればよいでしょう。
(3) f(x)の概形を調べてあげればVを積分計算で求めることができますが、変数変換を複数回しないと解き切れない厄介な積分です。
＜筆者の解答＞
第2問
整数問題です。
(1)与式からbが3の倍数で、cが5の倍数になることに着目すればよいでしょう。
(2) aが7以上の素因数pを持つと仮定すると、与式からaがp^6で割り切れないといけないとわかります。これがaの条件と矛盾するわけです。
(3) (1)(2)の結果からa=3^m×5^nの形で書けるので、3aが立方数かつ5aが平方数になることからm,nの条件が絞れ、かつaの条件からm,nの上限が5だと分かります。
＜筆者の解答＞
