このシリーズでは、平成の東京工業大学の後期日程の数学の問題を解いていきます。
16回目の今回は1996年です。
第1問
円に関する面積、軌跡、体積の総合問題です。この年の後期は、なんとこの１問１本になっています。
(1) 問題文の条件を翻訳すると、「CθはPとQを通り、なおかつそこでのCの法線x軸とy=xtanθに接している」となります。
Pを通りかつx軸とy=xtanθに接する条件からCθの式が決まってしまうので、その式がQを通ることをチェックできればOKです。
そうしてしまえば、面積は扇形の知識から積分なしで図形的に求めることが可能です。
(2) Cθの中心から見たときのAθの偏角の情報から、Aθの座標をθの式で表現できます。あとはθを消去してあげましょう。
(3) (2)で求まった式を使って積分計算をすればよいです。積分する式はxの分数式になるので、割り算して分子の次数を落としていくのが基本路線になります。
＜筆者の解答＞
