このシリーズでは、平成の東京工業大学の後期日程の数学の問題を解いていきます。
18回目の今回は1994年です。
第1問
関数を導出する問題です。
与式を微分するとf(x)=F'(x)となり、絶対値を外すためにx≦b, x≧bの２つに場合分けすればF(x)の式が求まるので、F(x)を微分すればf(x)が求まることになります。
x<bとx>bの部分でf(x)が連続なのは明らかなので、あとはx=bで連続ならOKということになり、ここからab=0が求まります。さらにf(0)=1からc=1も求まります。
あとはb=0の場合とb≠0での場合分けが発生し、それぞれについてF(1)=0が成立しうるかどうかを調べればOKとなります。
＜筆者の解答＞
第2問
2-√3の累乗が、√m-√(m-1)の形に書けることを証明する問題です。
まずは、(2-√3)^n = an -bn√3 (an, bn:自然数)と書けることを帰納法で証明し、an^2 -3*bn^2 がnによらず常に1になることを確かめれば、題意が示せます。
＜筆者の解答＞
