このシリーズでは、大阪大学の後期の数学の問題を解いていきます。
9回目の今回は2004年です。
第1問
Σ公式を導出する問題です。
(1)問題文と同じように計算するのみです。
(2)同様にしてΣk^5を計算すればよいのですが、途中経過としてΣk^4を求めておく必要があります。
＜筆者の解答＞
第2問
双曲線の法線に関する問題です。
(1)x^2 -y^2 =a^2を両辺xで微分することによってPでの法線の傾きが求まり、法線の式が求まります。これがy^2 -x^2 =b^2に接する条件を考えればよいので、連立してできるxの2次方程式が重解を持てばよいわけです。
(2) (1)の結果を使ってQの座標(p,q)を求めてあげればよいでしょう。角度については内積計算で事足ります。
＜筆者の解答＞
第3問
logを含んだ関数に関する極限の計算問題です。
(1)x=aでの接線の式を計算して、それが原点を通るようにaを決めてしまえばOKです。
(2) g(x)=p+xlogxが0以上であることを微分を使って確認します。
(3) x→0での極限を知りたいので、xは0<x<1に限定してOKです。このとき-xlogx>0となるので、(2)の式を使ってはさみうちに持ち込めばよいでしょう。
(4)積分の中身の絶対値は、x=e^(-1/2)を境に符号が切り替わることに注意して積分計算します。今回はb→0での極限を知りたいので、0<b<e^(-1/2)の場合だけ計算してあげればよいです。
＜筆者の解答＞
第4問
立体の体積を計算する問題です。
(1)時刻tでのP,Qの座標が求まれば、座標を求めたい点Rは、ベクトルを使ってOQ=(1-a)OP+aOQと書けます。
(2) 0≦t≦1でのRの軌跡を考えてあげると、線分になります。1≦t≦2, 2≦t≦3でのRの軌跡は、対称性から0≦t≦1でのRの軌跡の進路を60°ずつ回転したものになります。結局Rの全体の軌跡は正三角形になります。
(3) (2)の結果をaで積分してあげるだけです。
＜筆者の解答＞
