このシリーズでは、大阪大学の後期の数学の問題を解いていきます。
13回目の今回は2000年です。
第1問
漸化式に関する問題です。
(1)問題文の漸化式からbn+1^2 -2an+1^2を計算すると、bn^2-2an^2がnによらず一定なことが分かります。
(2) 問題文の漸化式からcn+1を計算すると、等比数列型の漸化式となることが分かります。
(3)(4)
(1)と(2)の結果からbn-√2anの一般項も分かるので、そこからbnの一般項が求まります。今回はbn+1 -bnと差を計算するとbnの増減がわかります。
＜筆者の解答＞
第2問
円と双曲線の絡んだ図形問題です。
(1)P(acosα, asinα), P'(acosβ, asinβ)とおいて、問題文の方程式に代入して、αとφの差（=∠POQ）を計算していきます。Qは(-acosφ, -asinφ)となることに注意です。
このときに、P,P'はx>0の領域にあるので、αもβも-π/2~π/2の範囲にあると設定してしまえばよく、あらかじめQの座標をaだけの式で求めてしまうとcosφ>sinφ>0がわかり、そこから0<φ<π/4が分かります。ここからα-φの取りうる値を制限することができます。
(2) (1)の結果からα=φ-π/6, β=φ+π/6とおくことができます（α<βと仮定しても特に問題ありません）
ここから、PR,P'Rをaの式として計算していきます。計算量は多めですが。
＜筆者の解答＞
第3問
対数関数に関する共通接線、面積の問題です。
(1) C1のx=sでの接線と、C2のx=tでの接線が一致するようにs,tを決めてあげましょう。そのとき、これらの接線がlになります。
(2)C1とC2の交点を調べた上で、積分計算していきます。こちらも計算量はかなり多いですが、最後は比較的スッキリした式になります。
(3)問題文のヒントも使いつつ極限計算していきます。
＜筆者の解答＞
