このシリーズでは、大阪大学の後期の数学の問題を解いていきます。
16回目の今回は1995年です。
第1問
4次関数の極値の配置に関する問題です。
(1)α,β,γはf'(x)=0の3つの解なので、解と係数の関係を使うとよいでしょう。
(2)f(α)、f(β)を計算して傾きを調べます。
(3) 同様にBCの傾きも求まるので、AB⊥BCとなる条件が求まります。その上でα,β,γが等差数列なら、公差をdとするとβ-α=γ-β=dとなるので、dを求めることができます。
(4) y=f(x)がy軸対称ならa1=0, a3=0となります。ここからα,β,γが全て具体的に求まるので、A~Cの座標が全て求まって、これら3点を通る放物線の式も求まることになります。
＜筆者の解答＞
第2問（理学部）
空間内にある点列に関する問題です。
(1) Hの法線ベクトルが(a,a,b)なので、(X,Y,Z)=(x,y,0)+t(a,a,b)とパラメータ表示できることになります。あとはQがH上にある条件からtを確定してあげればよいです。
(2) (1)で求めたm,m'は同じ値になっています。X,Y,x,yの関係式を調べるのに、この定数項mが邪魔なので、X-Yでmを消せばうまくいくのでは？という発想で考えるとよいでしょう。すると、X-Y=x-yとなるので、xn-ynはnによらず一定値になることが分かります。
(ii)については、同様にX+Yを考えることでxn+ynの一般項が調べられるので、これとxn-yn=定数から、xn, ynそれぞれの一般項が計算できます。
このX+Y, X-Yの２つを考えればよい、という発想が難しい所ですね。
＜筆者の解答＞
第2問（工学部）
理学部の第2問の抽象度を下げた廉価版と言った感じの問題で、やることは上記とほとんど同じです。
(2)については、平面の垂直⇔法線ベクトルの垂直で考えてあげるとよいです。
(3)は、(4)を先に解いて、△AnBnAn+1をnで表現したほうが早いと思います。
＜筆者の解答＞
第3問
回転体の体積に関する問題です。
(1)定石通りに積分計算していきます。積分に当たっては、xe^(-x^2/2)の塊を作っていけば部分積分を考えやすくなります。
(2) V(t)を微分して増減を確認します。
＜筆者の解答＞
