このシリーズでは、東京医科歯科大学の数学の問題を解いていきます。
15回目の今回は2008年です。
第1問
四角錐の表面積と体積を計算する問題です。
(1)(2)どう考えても(2)の方が先に来るべき問題でしょう笑
AQ=PQの条件からhがtの式で求まります。
その上で、表面積を計算していくのですが、側面の４つの三角形は全て合同であることに注意します。この面積の計算にはベクトルを使うのが最も簡便でしょうかね。
(3) 体積もtの式で容易に書けるので、微分して増減を調べることで最大値が求まります。
＜筆者の解答＞
第2問
数列の極限の計算問題です。
(1)分母を両辺に掛けると、「sinの2倍角の公式」が次々に使える形になります。
(2) (1)と同様に考えるとanの一般項が綺麗に求まるので、sinx/x→1 (x→0)を利用して極限計算できます。
(3) b1=cosπ/4とかけてbnの漸化式が「cosの2倍角の公式」っぽいと気付けると、結局cnはanでt=π/2としたものだと分かります。
＜筆者の解答＞
第3問
関数方程式の問題です。
(1)とりあえず、登場している式にx=0やy=0を代入して見れば手掛かりが掴めてきます。
(2)これは若干発想力が必要です。
求めたい式はfやgの2乗の式なので、(c)の右辺を利用しそうです。ここで、y=-xとすると、見事に(1)の結果と合わせてお目当てのものが出来上がることが分かります。
(3) (d)の条件があるので、与式は(2)の結果を使うことでg(x)を使ったものに書き換えられます。
このままだと0/0の不定形になってしまうのですが、分子を有理化してあげると不定形が解消されます。
(4) f'(x)を定義に従って計算していきます。つまり、[f(x+h)-f(h)]/h→f'(x) (h→0)を使います。今まで出てきた結果を総動員しましょう。
(5) x>0でつねにf(x)g(x)>0なので、面積は素直な積分で計算できます。(4)の結果を使うと計算を実行できます。
ちなみに、この問題のf(x),g(x)は具体的な式で書くことができて、
f(x)= [e^(2x)+e^(-2x)]/2
g(x)= [e^(2x)-e^(-2x)]/2
となります。これらは「双曲線関数」と呼ばれる関数で、三角関数の親戚のようなものになります。条件の(c)だったり(2)で証明した性質など、どことなく三角関数に似ていますね。
それにしても、この年のセット、今までの医科歯科のセットの中では飛び切り簡単に思えたのですが、気のせいでしょうか？
＜筆者の解答＞
