このシリーズでは、東京医科歯科大学の数学の問題を解いていきます。
26回目の今回は1997年です。
第1問
複素数に関する問題です。
(1)zをz=r(cosθ+isinθ)の形で表現すると、z+1/zが実数になるr,θの条件がいくつか求まるので、それぞれについて与式の取りうる値を考えていきましょう。
(2)同様にz^2+(1/z)^2が実数になるr,θの条件から、それぞれx,yの式で整理していきます。但し、zは0にならない、つまり実部と虚部が同時に0にならないことに要注意です。
＜筆者の解答＞
第2問
ベクトルの問題です。
(1)教科書レベルの典型問題です。OD=dOA, OE=eOBとして、OPを比の条件から2通りで表現します。
(2) OQ:QPを調べればよいので、(1)の結果も使いつつメネラウスの定理を使うと見通しよく解けます。
(3)平面ABCに平行なベクトルvはαAB+βACの形で書くことができるので、それとFQを見比べてみましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
回転体の体積に関する問題です。
(1)素直にCとlを連立して方程式を解けばよいでしょう。
(2)定石通りに積分計算していきますが、(1)で求めたx座標を文字でおいておくと見通しよく計算できます。K2は素直ですが、K1は極値を挟んで区間を分けて考える必要があります。
(3) t=√(1-a)と置き換えてしまえば、ただの3次方程式に帰着できます。
＜筆者の解答＞
