このシリーズでは、京都府立医科大学の数学の問題を解いていきます。
10回目の今回は2013年です。
第1問
放物線の共通接線に関する問題です。
(1)まずはTを数式で表現することを目標にします。
Cのx=tでの接線はy=2tx-t^2となり、これがC'の接線にもなっているので、C'の式とこの接線の式を連立してできるxの方程式は重解を持つはずです。重解を持つ条件がtの2次方程式になるので、これが２つの実数解を持てばよいわけです。
こうしてTを言い換えられたら、次は問題文の後半、つまり「C'が下凸でCと2点で交わる」「C'が上凸でCと交わらない」条件を言い換えて、それがTと一致することを確かめましょう。
(2) (1)で考えたtの2次方程式の解をα,β(α<β)とすると、A(α,α^2), B(β,β^2)となります。あとは、P,Qの座標を計算して、PQベクトルがABベクトルの定数倍になっていることを確認していきます。
(3)平行四辺形になっている条件は、(2)の結果からPQベクトルが「ABベクトルと等しい」か「ABベクトルと長さが等しく逆向き」となることです。
＜筆者の解答＞
第2問
フィボナッチ数列に関する問題です。
(1)与式の左辺ー右辺をbnとして、bnが常に0になることを帰納法で証明すればOKです。
(2) (1)の結果をθnの式に置き換えていくと、nが偶数ならtanの加法定理の式が出現します。
(3) (2)の結果を使うことで、与える式がθ1+θ2-θ∞となることが分かります。anがn→∞で+∞に発散することは流石に自明としてよいと思います。
＜筆者の解答＞
第3問
（訂正：(2)の分母はr^6が正しいです）
正四面体の内接球、外接球などに関する問題です。
(1)aについてはTの体積を2通りで表現することで求まりますが、そのためにはTの高さの情報が必要です。Tの4頂点をA~Dとして、Aから△BCDに下した垂線の足Hを考えます。
b,cについては、OA=OC=bの情報から、△ACHを用いて計算できます。
(2)a<r≦cなら、V(r)は4つのTの面から同じだけ球がはみ出した形状になります。なので、このはみ出しの体積を積分で計算していきます。最大値は微分での計算でよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
行列を絡めた確率の問題で、このセットの最難問だと思います。
(1) 行列の場合は、「(A+B)^2=A^2+2AB+B^2」とやってはいけないのでした。行列の場合ABとBAが等しいとは限らないからです。
これを考慮して、「(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2」とするのが正しく、今回の場合は問題文の条件から(A+B)^2が容易に計算できます。
(2)背理法を利用していきます。
a≠0を仮定するとAB=BAとなって矛盾、b≠0を仮定するとAB=0→B=0となって矛盾します。
(3)ここからが本題です。
「AB+BA=0を使うことで、AとBの積の順番を入れ替えることができる」という事実に気付けるかが大きなポイントになります。
そうすると、Aがl回、Bがn-l回選ばれるとすると、Xnは必ず±A^l×B^(n-1)の形にできます。（先頭の符号は、入れ替えの回数が偶数なら＋、奇数なら-です。）
もしnが奇数なら、lとn-1の偶奇は必ず違っているので、Xn=±A, ±Bのいずれかの形になるわけです。問題文の条件からこれらはEになりえません。
(4)nが偶数の時は、Xnは±E, AB, BAのどれかになることが分かるので、確率漸化式を立てて解くとよいでしょう。
（というか、漸化式で解かないとこの問題は詰みです。愚直にXn=EになるA,Bの出方を調べようとすると、「何回入れ替える必要があるか」の検討に入らざるを得ず、そこで詰まってしまいます。）
＜筆者の解答＞
