このシリーズでは、山梨大学医学部後期の数学の問題を解いていきます。
12回目の今回は2011年です。
第1問(1)
多項定理に関する問題です。
3つの因数からt^5, t^4, t^3, t^2, t, 1をどう選べば4次式、7次式ができるかを考えていきます。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
合成関数に関する問題です。
ウ、エは合成関数を素直に計算すればよく、オについてはf(x)の逆関数になります。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
確率の問題です。
どの偶数のカードが2回出るか、という観点で考察していけばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
円の接線に関する問題です。
この問題は座標で解こうとすると、「S,Tの座標を出す→内積でなす角を考える」と計算が煩雑になってしまいます。
ここは、座標から離れて純粋に図形的に処理したほうが良いと思います。直角三角形の三角比を利用していきます。
＜筆者の解答＞
第1問(5)
線分の比を求める問題です。
ベクトルを使っても求められますが、メネラウスの定理を使用する方が圧倒的に速いです。
＜筆者の解答＞
第2問
確率の問題です。
(1)ad-bc=0はa:b=c:dと言い換えられるので、この条件を満たす(a,b,c,d)の組み合わせを調べていきます。
(2) ケーリーハミルトンの定理を使うとad-bc=0に加えてa+d=3であればよいと分かります。
(3) a+b=mとなる確率qmを調べていけばよいでしょう。対称性からc+d=mとなる確率も同じくqmなので、qm^2で和を取ってあげればOKです。
(4)これは直感的には明らかだと思いますが、きっちり論証するのはかなり難しいです。
方針としては、一般のnについてad-bc=0となる(a,b,c,d)の個数を大雑把に調べることでpnを評価し、はさみうちの定理で0に収束することを確かめる、となります。
a:b=c:dがs:t(s≦tでsとtは互いに素）だったとすると、(a,b), (c,d)は(s,t), (2s, 2t), ・・・,(Ms, Mt）(MはMt≦nとなる最大の整数)のどれかになるのでM×M通りあることになります。t:sになる場合もあるので、sとtを固定すると合計2M^2通り(a,b,c,d)の組があることになります。
このMはM≦n/tと評価出来、さらに(s,t)の選び方は、「互いに素」という条件を無視することで大きめ評価ができnC2で上から押さえられます。よって、(a,b,c,d)の組数は、nC2×Σ 2(n/t)^2で上から押さえることができます。このΣはs≦tをみたす全ての(s,t)について足し上げる計算です。
このΣはさらにlognで上から押さえられるので、結局pnはlogn/n^2の形の関数で上から押さえられることとなり、はさみうちの定理によりn→∞でpnは0に収束することになります(pn>0は明らかなので）。
＜筆者の解答＞
第3問
行列に関する問題です。
(1)条件を満たすとき、Δ=ad-bcとするとa~dは全部Δの倍数でないといけないことが分かります。ここから|Δ|≧2だと矛盾が生じることを示していきます。
(2)A^2の成分を計算すると、、a+d=0だと右上左下の成分が0となりa~dを探しやすいと思います。
(3)A^2の行列式を計算するとΔ^2となり、A^2がSに含まれるならΔ^2は整数でないといけません。もしこのときΔが整数でないとすると、Δが無理数となってしまいa~dが有理数であることと矛盾します。
＜筆者の解答＞
第4問
（訂正：(2)の左辺はSn+1ではなくSn-1)
n!を不等式評価する問題です。
(1)(2)ともにy=logxのグラフを使って、面積の大小関係を使って証明していきます。
Sn-1については短冊の和ですが、(1)についてはy=logxの下側にある三角形の面積を、(2)についてはy=logxの上側にある三角形の面積を評価していきます。後者は接線を使う必要があるのがポイントとなります。
(3) (1)(2)の結果を使ってSn-1を不等式で挟んで計算していきます。Sn-1はlog(n-1)!となるので、最終的にはlogをすべて解消した上でnをかけてあげればn!を作ることができます。
ですが、Σ1/kが邪魔なので、これをlogの式で評価してあげる必要があります。
＜筆者の解答＞
