このシリーズでは、東京慈恵会医科大学の数学の問題を解いていきます。
8回目の今回は2015年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
小問集合です。
(1)確率の問題で、A,Bが勝つ条件をそれぞれ整理していけばよいでしょう。
(2)空間図形の問題です。ベクトルを使って考えればよさそうです。
Hが△ABC上にあるのでAH=αAB+βACと書けて、DHがこの面に垂直なので、DH⊥AB, DH⊥ACが成り立つことからα,βが分かります。
あとは△ABCの面積とDHの長さを調べればよいでしょう。面積計算は三角関数を使うもよしですし、今回は3つの辺の長さが分かっているのでヘロンの公式を使うのが得策です。
＜筆者の解答＞
第2問
指数関数についての面積の問題です。
(1)C1の式を2回微分すればよいです。
(2)C1, C2の交点x座標がaとなるわけですが、このaの値によってS(a)の計算に場合分けが発生します。
(3) (2)の結果を微分すればよいです。
＜筆者の解答＞
第3問
格子点の個数を調べる問題です。
(1)P(0,p), Q(q,p)として与式を計算すればOKです。
(2) 直線x=k(k:整数)上にある格子点の数を調べて足し上げます。このときにガウス記号が必然的に登場するので、そこで不等式評価ができてはさみうちに持ち込めます。ただ、そのままでは区分求積法が使えない形なので、不等式評価をもう1段階行う必要があります。
＜筆者の解答＞
第4問
空間図形に関する問題です。
(1)Pの条件がうまい具合にできていて、OCの長さがすぐに計算できます。ここからカが求まります。
キ、クについてはαの式を作ればよく、それにはOAベクトルがαの法線ベクトルであることを利用できます。
(2)こちらはかなり面倒な問題です。
Pの条件からx,y,zの式が2つ求まり、今回調べたい式がx, yだけの式なのでzを消去することで一本の式にできます。
ただ、その式は綺麗に図示できないので、視覚的な「線形計画法」では対処できません。なので、ここはk=y-2xとしてyを消去することで「xの2次方程式」として代数的に処理することにします。
こうしてできるxの2次方程式が「-3≦x≦3」となる解（※）を持つようなkの条件が、求めるkの値域となるので、これを調べることに終始します。結構計算は面倒です。
（※）x,y,zの条件の一つとしてx^2+y^2+z^2=9があるので、-3≦x≦3でないとy,zが存在できなくなってしまいます。
大学範囲であれば、別解として「ラグランジュの未定乗数法」を使うことができ、こちらの方が楽に処理できます。
ラグランジュの未定乗数法 ～制約条件付きの最大最小を求める秘密兵器～ - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
＜筆者の解答＞
(2)別解 ～ラグランジュの未定乗数法（大学範囲）を使う方法
