このシリーズでは、東京慈恵会医科大学の数学の問題を解いていきます。
14回目の今回は2009年です。
(問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。)
第1問
小問集合です。
(1)図形問題です。
ア、イについては余弦定理で、ウについてはメネラウスの定理で求めることができます。
(2)確率の問題ですが、実質等比数列の和を考える問題です。
p0については、p0+p1+・・・+pn=1になることを使って調べることができ、期待値については定義通りに計算していきます。
その際、等差数列×等比数列の形のΣ計算が要求されます。公比をかけて引き算するという方法でもよいですし、答案のように微分を使う方法でも計算できます。
クについてはπ/4+π/6=5π/12となることから加法定理を使えばよく、ケはx=2tanθと変換することでクを生かせるようになります。
<筆者の解答>
第2問
行列と分数関数の対応について考える問題です。
(A)素直にf( g(x) )とa'~d'をそれぞれ計算して対応関係を見ればよいです。
(B) (A)と密接に関連していますが、独立に解くことができます。
(1)問題文の指示通りに、n=1の時の成立、n=kでの成立を仮定したときのn=k+1での成立の証明という流れです。
(2)いわゆる対角化という作業です。対角行列を利用することで、A^nが楽に計算できます。
(3) あとは(1),(2)の結果を使うのみです。
このような流れで、行列を利用することで分数関数の形の漸化式を解くことができるわけですね。
<筆者の解答>
第3問
関数方程式を解く問題です。与式の時点で、f(x)は指数関数なのでは?と予想できます。
(A)
(1)y=aとしてあげればよいです。
(2)x=y=0としてあげればf(0)が計算できます。
(B)
(1) (A)でf(0)=1>0だと分かっていてf(x)が連続なので、f(a)<0となるaがあると仮定すると、f(b)=0となるbがないといけません。
正直、背理法を使わなくてもyをxとすることで即座に証明できてしまうので、「背理法を使って」という縛りでかえって解きにくい印象です。
(2)(3)
定義通りに計算していき、最終的にはここでもf(0)=1が生きます。
(4)この不定積分をけいさんするとlogf(x)となるので、さらにf(0)=1を使うことでf(x)を確定できます。当初の予想通り、指数関数になりましたね。
<筆者の解答>