このシリーズでは、東京慈恵会医科大学の数学の問題を解いていきます。
15回目の今回は2008年です。
(問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。)
第1問
小問集合です。
(1)確率の問題です。
X=kとなるときに、最小の数と最大の数がそれぞれ何通りあるかを考えればよいです。
(2)図形問題です。
ウ、エについては内積が0になる条件から、オについては公式代入で面積を計算していきます。OP0がOQ0やOQ1と垂直なので、体積計算にオがそのまま利用できることに気付けると楽です。
(3)対称式の処理の問題です。
pをrを使って2通りに表現することがカギになります。最初はx-yを消去したいので、p=(x-y)^2 +3r, 次にrを消去するときは、qがrとx+yの積なので、p=(x+y)^2-rと使い分けます。
(4)極方程式で書かれる曲線に関する問題です。
極座標のままだと考えにくいので、デカルト座標x,yをθの式で表現することが第1歩になります。そこからdx/dθ, dy/dθ, dy/dxをそれぞれ計算していきます。
コとサは一致しますが、これは偶然だと思います。。。
<筆者の解答>
第2問
cosの和と積を方程式から求める問題です。
(1)左辺と右辺をそれぞれcosθの式に分解していきます。
(2)θ=2π/7が①の解になっていること、そして(1)の方程式がx-1で因数分解できること、の2つに気付けると、(1)の結果のx-1の片割れの3次式こそが、cos2π/7を解にもつことがわかります。
(3)同様の考え方で、cos4π/7とcos6π/7も(2)の3次方程式の解になることがわかります。3次方程式の解は3個までで、ここまで調べたcos2π/7, cos4π/7, cos6π/7の3つはすべて異なる値なので、この3つが(2)の解の全てだと分かります。
そうと分かれば、解と係数の関係を使えばよいですね。
<筆者の解答>
第3問
絶対値付きの積分で書かれた関数の増減を調べる問題です。
(1)xの値で場合分けして絶対値を外して積分計算していきます。
(2) (1)の結果を微分して増減を調べます。
<筆者の解答>