私立最難関の一角、慶應義塾大学の医学部の問題を取り上げます。
今回は1998年の問題を解いていきます。
第1問
整数解の個数を数える問題です。
あ：こちらは力づくで数えきることができるので簡単です。
い：zを固定すると「あ」に帰着できるので、あとはzを動かして足し上げていきます。
(a)おそらく問題文のNは、(b)を鑑みると「2以上の『偶数』」が正しいものと思われます。
う：x=2X, y=2Y, z=2Zとしてしまえば、結局「い」でNをN/2に変えたものに等しくなります。
え：余事象の考え方から、「い」ー「う」で計算できることが分かります。
(b)こちらも(a)と全く同じ発想で考えればOKです。「お」については、対称性から「xだけ奇数」としても一般性を失わないのでこの状態で個数を数え、最後に3倍すればOKです。
(c) x=a^2として、最初はaを固定して(y,z)の個数を数え、最後にaを動かして足し上げます。
＜筆者の解答＞
第2問
楕円の2本の法線の交点の極限について考える問題です。
(1)
あ：楕円の式を微分することでdy/dxが求まるので、そこから法線の式を求めていきます。
い：Qでの法線も同様に求まるので、「あ」と連立していきます。
う：分母分子共にhで割ると、微分係数その物の形になるので、微分を使うことで極限を計算できます。
え：「あ」に「う」を代入すれば綺麗に求まります。
(2) Rの各成分を微分すると、それぞれがθについて単調増加で、かつ下凸のグラフだと分かります。
長さについては、公式に従って積分計算すればよいですが、非積分関数がcosθ×(sinθの関数)の形になっているので、t=sinθと置換するとうまくいきます。
（というより、それを見越して最初からcosθ以外の部分はsinθの式で統一しておくのが良いですね）
置換した後の形は、実は原始関数がきちんと求まる関数になります。
＜筆者の解答＞
第3問
関数の概形、面積、回転体の体積を計算する問題です。
(1)面倒ですが、力づくで微分していくほかありません。頑張りましょう。
(2) (1)の結果から増減表が書けますね。
(3)Gの式の右辺がちょうどf(x)の2乗になっていることに気付ければ、-|f(x)|≦y≦|f(x)|と条件式を書き換えることができます。
(4)定石通りの積分計算です。今回は分数関数の積分になっているので、割り算をすることで分子の次数を分母の次数よりも下げていくのが鉄則です。
(5)こちらも定石通りの積分ですが、初見ではかなり厄介なタイプの積分です。ヨビノリさんの「今週の積分」では★5くらいにはなりそうな問題です。
このタイプの積分では、√の部分を丸ごと1文字で置換するとうまくいくことが多いです。こういう置換を行うと、今度はt=tanθと置換するタイプの積分になります。その後も式変形が結構面倒です。
＜筆者の解答＞
第4問
騎馬戦のような競技の戦略を考える問題で、とにかく問題文が長い長い・・・
とはいえ、中身自体はそこまで複雑ではないので、威圧感に潰されぬよう頑張っていきましょう。
(1)「歪なサイコロ」などで時々見かける題材で、ちょっと発想力が必要な問題です。
直感的に「p1~pnが均等に1/nだったら、最小化できそう」という勘が働くと思うので、それ前提で示しに行きます。
問題文のヒントから「2乗の和を作る」という発想が浮かび、上記の直感から(pi-1/n)^2の和を作ればよさそうだと思いつければ勝ちです。
(2)残基数が微分方程式の形で規定されています。
(2-a)ロを両辺tで微分すればイを満たすことが容易に確かめられます。大学で微分方程式の解法を本格的に習えば、逆にイから直接ロを導出することもできます。
ちなみに、ロの行列の各成分に出てくる関数は「双曲線関数」と呼ばれるものです。
(2-b)こちらもロを使って計算するだけで、結果a^2 -b^2となります。
(2-c) x(t)=0を実際に解いて、そんなtが存在するためのa,bの条件を考えればOKです。y(t)=0についても同様です。
結果として、a>b（つまりAの人数がBの人数よりも多い）ならBの残基y(t)の方が先に0となり、Aは√(a^2 -b^2)人生き残ることが分かります。この結果を使って(3)を解いていきます。
(3)
(3-a) (2)での結果から、最終的に生き残るAの人数は、X^2 -(p1^2+・・・+pn^2)Y^2となるので、これがプラスであればAの勝ちとなります。
(3-b) (1)の結果を使えば人数を最大化できます。
(3-c)X=Y/2を代入して、(3-b)の結果が正となるnの条件を求めればOKです。
＜筆者の解答＞
