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2024年度 京大文系数学 解いてみました。

2024年も大学入試のシーズンがやってきました。

今回は、京都大学の文系数学に挑戦します。

※原則文系ユニークの問題のみ解きます。理系との共通問題については理系の記事を参照下さい。

2024年度 京大理系数学 解いてみました。 - ちょぴん先生の数学部屋

<概略> (カッコ内は解くのにかかった時間)

1.  四面体の体積(30分)

2.  立方体の面の塗分け(25分) ※理系第1問とほぼ共通

3.  絶対値付き2次関数の最大値(35分)

4.  8進法、9進法、10進法のどの表記でも桁数が一致する自然数(15分) 

5.  放物線と直線の交点(20分) 

 

計125分

 

<体感難易度>

5<1<2<4<<3

 

今年の京大文系はかなり難しい問題が揃ってます。

第1問は四面体の体積ですが、意外と計算しづらい形をしています。

第2問は理系第1問の廉価版であり、状況の把握がやや難です。

第3問は文句なしで本セット最難問です。絶対値がある時点で場合分け地獄になるのは目に見えています。

第4問は京大お得意の「○○進数」の問題ですが、10進法のときと同じ考え方を適用できたかがカギです。

第5問は本セットの中では最も易しい問題で、これを落とすともはや後がなくなってしまうので必ず完答すべきです。

 

<個別解説>

第1問

四面体の体積を計算する問題です。

 

問題文の設定を踏まえると、ABの中点をMとしたとき△OCMについて四面体が面対称になってることが分かります。

AM=BM=1/√2は△AOBが直角二等辺三角形になることからすぐに分かるので、実質、△OCMの面積が分かれば体積が計算できる格好です。

 

問題文の等しい角度を2θとおいて、余弦定理や三平方の定理を使ってθの三角比を求めていくと、最終的に△OCMの3つの辺の長さが全て求まります。

 

ここから「高さ」を求めるのは骨が折れるので、△OCMの面積を求めたいなら「ヘロンの公式」が最適となります。さて、ヘロンの公式をちゃんと使える文系の受験生がどれだけいるんでしょうかね>

 

<筆者の解答>

 

第2問

 

理系第1問とほぼ共通の問題で、(1)のみ文系オリジナル、(2)は理系(1)と全く同じです。

 

詳しい解説は理系の記事で行っているので、そちらを参照ください。

 

<筆者の解答>

 

第3問

絶対値付き2次関数の最大値を求める問題で、本セット最難問です。

 

絶対値が登場してる時点で場合分け地獄になることが目に見えており、さらにaの値での場合分けも発生するので相当厄介な問題です。

 

まずはとにもかくにも、絶対値を外さないことには話が進みません。この時点でxの値のaの式を使った場合分けが発生します。

 

そして、そのxの範囲が-1≦x≦1とどのように重なってるかがaの値によって変わるので、aの値による場合分けも発生します。

 

以上をまとめて、aの値に応じてf(x)のグラフを書いて最大値の候補を見繕ってくるわけですが、中には候補が複数あるものがあるのでそこで新たなaの場合分けが発生することになります。

 

<筆者の解答>

 

第4問

8進法、9進法、10進法のどの表記でも桁数が一致する自然数を求める問題です。

 

10進法の世界であれば、Nがn桁であることは10^(n-1)≦N<10^nと数式で表現できますよね。これは一般のm進法の世界でも同じ話であり、10の部分をmに置き換えればいいわけです。

よって、今回は

10^(k-1)≦N<10^k

9^(k-1)≦N<9^k

8^(k-1)≦N<8^k

のすべてが同時に成り立つようなNとkを求めることになります。

 

このとき、8^(k-1)<9^(k-1)<10^(k-1)と、8^k<9^k<10^kは当たり前に成り立っていますが、大小関係がはっきりしない組み合わせがいくつかあります。

 

もし、10^(k-1)<8^kだとすると、8^(k-1)<9^(k-1)<10^(k-1)<8^k<9^k<10^kと大小関係が綺麗に並んでしまい、上記3つの不等式全てをみたすNが存在できなくなってしまいます。。逆に10^(k-1)>8^kなら必ずNが存在できる領域が発生します。

 

この条件からkには制限が発生するわけですが、今回はNの最大値が知りたいのでkをその制限下で最大の物にしてしまえばよいです。その上でNの最大値は、Nの上端から1引いたものになりますね。

 

ちなみに、求まった最大値2^30 -1を10進法で表すと1073741823に、9進法で表すと2684381780に、8進法で表すと7777777777になります。

 

<筆者の解答>

 

第5問

放物線と直線の交点についての問題です。

 

問題文の条件を言い換えれば「xの2次方程式x^2-4x+5=ax+bがx>1において2つの実数解を持つ」となるので、よくある解の配置問題にできます。判別式と軸の位置と端点の符号の3つをチェックするんでした。

 

面積は単純な積分で計算可能です。

 

<筆者の解答>