ちょぴん先生の数学部屋

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大学数学

最も基本的な関数方程式 ~コーシーの関数方程式~

皆さん、こんにちは。 今回は「コーシーの関数方程式」というものを紹介します。

100ます積分に挑戦してみた。

皆さん、こんにちは。 今回は、こちらのサイト100ます積分 (planet-scope.info)に「100ます積分」なる積分の問題がありましたので、その計算を紹介したいと思います。 中には「解けない」積分があったり、高校範囲外の初等関数を使用しないと不定積分が計算…

場合の数で何かと顔を出す数列 ~カタラン数~

皆さん、こんにちは。 今回は、場合の数を考える題材で頻出する数列である「カタラン数」について紹介します。

1×2×3×4×5×・・・=√2π !? ~解析接続の不思議な世界 その2~

皆さん、こんにちは。 今回は、以前紹介したこの記事 1+2+3+・・・= -1/12 !? ~解析接続の不思議な世界 その1~ - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com) に引き続き、「解析接続」を使うことで得られる不思議な結果をご紹介します。 前回は「自然数の…

階乗を近似計算する式 ~スターリングの公式~

皆さん、こんにちは。 今回は、「階乗」の近似式である「スターリングの公式」について紹介します。

分数を無限に掛け算すると円周率になる? ~ウォリス積~

皆さん、こんにちは。 今回は、「ウォリス積」と呼ばれる無限個の分数の掛け算について紹介します。

二年生の夢 ~嘘のようなホントに正しい等式~

皆さん、こんにちは。 前回、「一年生の夢」という、それっぽいけど間違ってる等式を紹介しました。 一年生の夢 ~数学初学者がやりがちなミス、でも少しぐらい夢を見させてくれてもいいじゃないか~ - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com) 今回は、そ…

正多面体は5種類しかない ~オイラーの多面体定理~

皆さん、こんにちは。 今回は、「正多面体は5種類しかない」ことを証明してみたいと思います。

バーゼル問題の拡張

皆さん、こんにちは。 今回は、以前紹介したバーゼル問題(バーゼル問題 カテゴリーの記事一覧 - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com) )に類似したいくつかの極限について紹介していこうと思います。

シグマ公式を生み出す数列 ~ベルヌーイ数~

皆さん、こんにちは。 高校数学で「シグマ公式」というものを習ったかと思いますが、2乗、3乗と次数が上がるにつれて式が複雑になり、しかも導出が大変になりましたよね。 今回は、そんなシグマ公式を一般に綺麗に表現するのに便利な特別な数列「ベルヌーイ…

シュレディンガー方程式を解く その3 ~水素原子~ [後編]動径関数

みなさん、こんにちは。 今回は「シュレディンガー方程式」シリーズの第3弾「水素原子」の後編で、前回の「角度方向」に引き続き、「動径方向」について考えます。 最後に、元々の方程式の解の全容を調べていきます。 ※今回の記事は下の前編の完全な続きです…

シュレディンガー方程式を解く その3 ~水素原子~ [前編]球面調和関数

みなさん、こんにちは。 今回は「シュレディンガー方程式」シリーズの第3弾として、「水素原子」について紹介します。 水素原子のシュレディンガー方程式は、「角度方向」と「動径方向」の2つに分離できるのですが、両方を一度に紹介すると大変長くなってし…

シュレディンガー方程式を解く その2 ~調和振動子~

みなさん、こんにちは。 今回は「シュレディンガー方程式」シリーズの第2弾として、ばねのモデルである「調和振動子」について考えます。

シュレディンガー方程式を解く その1 ~井戸型ポテンシャル~ [後編] 有限の深さの場合

みなさん、こんにちは。 今回は「シュレディンガー方程式」シリーズの第1弾「井戸型ポテンシャル」の後編で、「有限の深さ」になった場合について考えます。 前回の記事↓ stchopin.hatenablog.com

シュレディンガー方程式を解く その1 ~井戸型ポテンシャル~ [前編] 無限の深さの場合

みなさん、こんにちは。 今回から、量子力学の基礎方程式「シュレディンガー方程式」について、いくつか代表例を解いてみる、というネタを紹介しようと思います。 今回は初回なので、そもそも「シュレディンガー方程式」とは何か?という導入部分から解説し…

ラプラシアンの3次元極座標表示

みなさん、こんにちは。 本日は、量子力学の基礎方程式である「シュレディンガー方程式」を解くに当たり、その準備段階として、電磁気学に登場した「ラプラシアン」を3次元極座標(および3次元円筒座標)での表式に変換する工程を紹介します。 ラプラシア…

(1/2)!=???  ~階乗の一般化:ガンマ関数・ベータ関数~

みなさん、こんにちは。 今回は、高校数学で習う「階乗」の一般化にあたる、「ガンマ関数」について紹介します。

内積の概念を関数にも・・・直交多項式 その4 ~ラゲール多項式~

皆さん、こんにちは。 4回シリーズでお届けしている「直交多項式」のいよいよラストです。 最終回の今回は「ラゲール多項式」、並びにその拡張版である「ラゲール陪多項式」について紹介します。 この「ラゲール陪多項式」は、水素原子の電子に関するシュレ…

内積の概念を関数にも・・・直交多項式 その3 ~ルジャンドル多項式~

皆さん、こんにちは。 4回シリーズでお届けしている「直交多項式」の第3弾です。 3回目の今回は「ルジャンドル多項式」、並びにその拡張版である「ルジャンドル陪関数」について紹介します。 この「ルジャンドル陪関数」は、水素原子の電子に関するシュレ…

内積の概念を関数にも・・・直交多項式 その2 ~エルミート多項式~

皆さん、こんにちは。 4回シリーズでお届けしている「直交多項式」の第2弾です。 2回目の今回は「エルミート多項式」について紹介します。 この「エルミート多項式」は、ミクロなばね(=調和振動子)に関するシュレディンガー方程式を解く際に登場します。

内積の概念を関数にも・・・直交多項式 その1 ~チェビシェフ多項式~

皆さん、こんにちは。 今回から4回に渡って「直交多項式」について紹介していきます。 後日取り上げる予定ですが、量子力学における「シュレディンガー方程式」を解く際にこの「直交多項式」たちが大活躍しますので、お楽しみに。 初回の今回は、大学入試の…

マクスウェル方程式から、電磁波の方程式を導出

皆さん、こんにちは。 大学1年の後期の期末試験が近いということで、「電磁気学」に関連する数学の話を前後編に分けてしていこうと思います。 後編の今回は、電磁気学の基礎方程式である「マクスウェル方程式」から、電磁波の方程式を導出する工程を紹介して…

grad, div, rotとは? ~ベクトル解析の3大計算~

皆さん、こんにちは。まだまだ寒いですね。 大学1年の後期の期末試験が近いということで、「電磁気学」に関連する数学の話を前後編に分けてしていこうと思います。 前編の今回は、電磁気学の基礎方程式である「マクスウェル方程式」の理解に必要な、ベクトル…

「無限」には常識が通じない その2 ~積分と極限・無限級数の順番を変えると答えが変わる?~

みなさん、あけましておめでとうございます。 ということでこのお正月は、「無限」に関わる不思議な話の後編をお送りいたします。 後編の今回は、「積分と極限の順番」に関するお話です。

「無限」には常識が通じない その1 ~足し算の順番を変えると答えが変わる?~

みなさん、こんにちは。 今年もあっという間に年の瀬になってしまいました。 ということでこの年末年始は、「無限」に関わる不思議な話を2回に分けてお送りいたします。 前編の今回は、「足し算の順番」に関するお話です。 (後編は、元日投稿する予定です)

万有引力の法則から、ケプラーの法則を導く

今回の記事では、惑星の運動に関する法則「ケプラーの法則」を、「万有引力の法則」からニュートンの運動方程式を使って証明していきたいと思います。

共振現象を、ニュートンの運動方程式から導く

この記事は、前回の「ニュートンの運動方程式」の続きで、 stchopin.hatenablog.com 今回は、「共振」を扱ってみようと思います。

微分方程式への招待 ~ニュートンの運動方程式~

今回の記事では、近代物理学の至宝、「ニュートンの運動方程式」について紹介し、実際にそれを使っていくつかの物理現象を解明していきます。 それにあたっては「微分方程式を解く」という作業が必要になりますので、各物理現象を通して、その一端に触れてい…

ε-δ論法とは? ~大学数学でみんなが挫折する悪魔の論法~

皆さん、こんにちは。 今日は、新年度が始まったということで、理系の大学1年生向けに「ε-δ論法」について紹介していきます。 さて、この「ε-δ論法」ですが、タイトルにデカデカと書いたように「みんなが挫折する悪魔の論法」なんです。どんなに高校までで…

0.99999・・・=1 ~小学校の算数で登場する極限のお話~

皆さん、こんにちは。 ついに2021年も今日で最後となりますね。 そんな年の瀬に、皆さんが小学校で出くわしただろうある話題について紹介したいと思います。 それがタイトルにもある、 「0.99999・・・・・=1」 という話です。