このシリーズでは、平成の東京工業大学の後期日程の数学の問題を解いていきます。
5回目の今回は2007年です。
第1問
方程式の解を絡めた確率の問題です。
(1) 方程式の左辺をf(x)とおいて、f(x)が異符号な極値を２つ持つ条件を調べてあげれば、それが方程式が３つの実数解を持つ条件になります。そして、その条件を満たす(n1, n2, n3)の組み合わせの個数を総当たりで調べていきます。
(2) こちらは左辺の定数項以外の部分をg(x)として、xに1,2,・・を順に代入していって、値の絶対値が6以内になるように条件を決めてあげるとよいです。n1で場合分けすると見通しが良くなります。
＜筆者の解答＞
第2問
グラフの概形を調べる問題です。
(1)素直にf(x)を1階微分、2階微分を考えてあげればよいです。符号を調べるとき、xとsinxの大小、xとtanxの大小が要求されますが、グラフを使うと調べられます。x=0, π/2での極限計算もお忘れなく。
(2) g=f+1/fと書けることに気づくと、g'は「fで微分してから、その後にf'をかければ求まる」と分かります。同様にg''も計算できるので、(1)の結果も使いつつ増減と凹凸、両端の極限を調べていきます。
(3) 式変形すると、f(x)e^g(x)=aとなるので、この方程式が実数解を持つようにaを決めればよいことになります。なので、F(x)=f(x)e^g(x)の増減を調べましょう。
＜筆者の解答＞
