このシリーズでは、平成の東北大文系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
基本的に文系ユニーク問題のみ解きますので、理系との共通問題については、理系の記事をご参照ください。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系後期数学 -1994年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
25回目の今回は1994年になります。
第1問
球と平面の交わりに関する問題です。
平方完成によってSの中心と半径は容易に求まるので、Sの中心とαとの距離を考えることで、交わりとなる円の半径が求まります。
円の面積を最小化したいので、この半径を最小化できれば良いのですが、この半径はaの分数式で書かれるので（分数関数の微分が使えない文系範囲だと）最小化は骨が折れます。微分を使わないとなると、相加相乗平均くらいしか最小値を求めるすべはないので、そこを目がけて式変形していきます。
aが求まったら、αの法線ベクトルの情報から円の中心の座標も求めることができます。
＜筆者の解答＞
第2問
回転体の体積に関する問題です。
まずはLの式を求めてy=x^2 -2との交わり方を調べることで、回転させる図形を把握しましょう。すると、放物線の回転体から円錐を引き算するとVが求まることになります。積分を使ってVを計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
直線の通過領域に関する問題です。
ltの式をtに関する2次方程式とみなして、それが実数解をもつx,yの条件を調べていきます。今回はこの逆像法でよいと思います。
(1)上述の方程式が、「なんでもいいから」実数解をもつ条件を考えます。2次の係数が消えるy=1の場合だけ例外扱いすることに注意しましょう。
(2)上述の方程式が「0以上の」実数解をもつ条件を考えるので、(1)よりもさらに厳しい条件を考えることになります。(1)ではy=1とy≠1の場合分けだけすればよかったのですが、(2)ではy-1とy+1の符号の両方を追う必要があるので、場合分けがより煩雑になります。
＜筆者の解答＞
第4問
漸化式に関する問題です。
(1)漸化式を一見して厄介なのはΣの部分です。何とかこのΣの部分を丸ごと消せるようにan-1を計算していきましょう。
(2) (1)ができていれば教科書レベルの2項間漸化式です。
＜筆者の解答＞
