このシリーズでは、平成の東北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
25回目の今回は1994年になります。
第1問
楕円の回転に関する問題です。
K上の点Pをパラメータ表示して、Aによって回転した座標Qを求めれば、そのQの軌跡がK'となります。K'が件の領域に含まれるには、Qのx,y座標が任意のパラメータでx<0, x+y<0となっていればよいので、Qのx,y座標の取りうる値の範囲を調べましょう。
一見すると、求めるθはa,cに依存しそうですが、綺麗に約分されてa,cと無関係になります。
＜筆者の解答＞
第2問
不等式を解いて、面積を計算する問題です。
(1) 対数の形のままだと扱いずらいので、指数関数の形に直すとよいと思います。おそらく右側の不等号から処理したほうが楽です。念のため、真数条件にご注意。
(2) (1)ができていれば、標準的な積分の計算問題です。
＜筆者の解答＞
第3問
点の速度に関する問題です。
まずPの座標は、最初の位置(1,0)に、速度ベクトルを積分したものを足すことで求まります。これを利用してQの座標を求め、それを一回微分すれば速度になるので、その座標の増減を調べることに終始します。
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題です。
(1) サイコロが全て1だとすると、それだけで出た目の合計はNになります。なので、サイコロDkの目が1+akだった時に、Σak=19となれば題意が成立します。ということで、そうなるa1,・・・,aNの組み合わせの個数を調べます。
それは「19個のボールと、N-1個の仕切りを横一列に並べる方法」と等しいです。
(2) logPNを計算すると、log(N+j)の有限個の足し算に帰着できます。なので、logN/N→0(N→∞)を使えば極限計算ができます。
＜筆者の解答＞
第5問
微分方程式の問題です。
(1) g'(x)を計算して、それが0になることを言います。f'(x)=af(1-x)をそのまま使うとともに、xを1-xに置き換えるとf'(1-x)=af(x)となることも利用します。
(2) f(x)が「微分可能な連続関数」という条件があるので、x=0で最大値をとるなら、f'(0)=0が言えます（ちなみに逆は成り立ちません）。それを使うとf(1)=0が言えるので、g(x)にx=0を代入することで、定数値が求まります。
(3) これはいわゆる「King Property」と呼ばれる積分の解法で、ヨビノリさんの「今週の積分」でしばしば登場しました。
求める積分をIとすると、x=1-tと置換することで、2Iがg(x)の積分に置き換わります。
＜筆者の解答＞
