理系数学の最難関の一角、東京工業大学の1989年の問題を取り上げます。今回で最終回です。
第1問
放物線の2接線の交点に関する問題です。
先にP(a,b)とおいて、Pからy=x^2に伸ばした接線の傾きを求め、QとRの座標を求めておくとよいでしょう。
(1) 問題文に書かれている不等式は(a,b)の条件です。QRの中点Mを(X,Y)として、a,bをX,Yの式で書いてあげれば、問題文の条件をX,Yの条件に読み替えることができます。これを図示しましょう。
(2) PQベクトル、PRベクトルを計算することによって△PQRの面積をa,bの式で表すことができるので、面積一定の条件からbをaの式で書くことができます。
＜筆者の解答＞
第2問
外サイクロイドに関する問題です。
(1)A, Bの接点をQ, P0(2,0)と置くと、弧PQの長さと弧P0Qの長さは常に等しくなります。これを使って、Pの座標をθを使って表現しましょう。（※θは円Bの公転角とします）
(2) P(x,y)とおいて、dx/dθ, dy/dθを計算して公式に当てはめればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
関数方程式の問題です。
(1) x=0で微分可能という情報があるので、x=0としたときの情報が知りたくなります。
すると、f(0) [ f(x) +1] = 0 となるので、f(0)が0なのかそうでないかで状況が分かれます。0でないときは簡単で、f(x) = -1という定数関数になるので、当然どこでも微分可能です。
0になる時が少し難しいです。微分可能かどうかが知りたいので、微分の定義、
[ f(x+h) - f(x) ]/h が h→+0, h→-0と極限を取った時にどうなるかを調べます。計算を進めると、結局f(h)/hがどうなるかを考えることになるのですが、f(0) =0なので、
f(h)/h = [f(h) -f(0)] / [h-0] となって微分の定義がそのまま使える形になります・
(2) (1)におけるf(0) =0 の場合が、f(x)の微分方程式になっているので、これを解きます。
＜筆者の解答＞
第4問
積分値の極限を計算する問題です。
積分のsinの中身がnxとなっているのが面倒なので、t=nxと変数変換してしまいます。すると、積分範囲が0~nπとなるので、πずつ積分区間を区切って考えるとよいでしょう。
このようにして積分を計算してから極限を取ればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第5問
確率漸化式と期待値の問題です。
(1) k回目の操作で、既出のカードを引くか、新規のカードを引くかで場合分けすればよいでしょう。
(2) Ekの式に(1)の結果をそのまま突っ込んで、Ekの漸化式を作ることを考えます。rとkという2つの引数があるので、つじつま合わせをうまく行って式を簡単にしていきましょう。
あとは、E1= 1を使って漸化式を解けばよいです。
＜筆者の解答＞
