このシリーズでは、平成の九大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
18回目の今回は2002年になります。
第1問
4次関数の対称移動と交点、面積を求める問題です。
(1) C1:y=f(x), C2:y=g(x), C3:y=h(x)とすると、原点対称についてはg(x)=-f(-x), y軸対称についてはh(x)=f(-x)で表すことができます。
(2) C1, C2を連立すると複2次式のタイプの4次方程式が出来上がります。その時に値が正となるx^2が1種類しか出てこない条件を考えます。
(3)C1とC3との交点の座標も求めて面積を積分計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
速度について考察する問題です。
vA, vBがそれぞれOA, OBベクトルをtで微分したもの、vがOPをtで微分したもの、と考えると見通しがよくなります。
(1)vについては、OP=(OA+OB)/2を両辺tで微分すればよいですし、θ'(t)e(t)については、ABをtで微分するとよいです。
(2) (1)で求めた関係式からθ'(t)が先に求まるので、それをtで積分すればθ(t)が求まります。
この情報を使ってvの各成分をtで積分すればx,yが求まります。その際、1次式×cosの積分と, 1次式×sinの積分の両方を計算する必要があり、複素数の知識を使って答案では一度に計算しています（オイラーの公式を使っています）。
dについては√(x^2+y^2)を計算すればよいですが、式がやたらと汚くなります。
＜筆者の解答＞
第3問
絶対値の入った積分を考える問題です。
(1)aの値によって絶対値の中身の符号が変わるので、場合分けして計算します。
(2) f(a)の両端は単調に変化するので、最小になる可能性があるのは真ん中の部分だけです。
(3) 2/3<log2<4/5から逆算すると、e^2<8とe^4>32が証明できればOKです。
f(a)の0≦a≦2での最大値は、候補が2つ出てくるので、その大小を2.7<e<2.8と2/3<log2<4/5の両方を使って調べていきます。
＜筆者の解答＞
第4問
ベクトルの問題です。
(1) AP:BP=2:√3をOを始点にして整理すると、OPで平方完成できる形に出来て、|OP-OR|=(定数)の形に出来ます。このとき、Pの軌跡は中心R、半径が右辺の定数となる球面になります。
(2)正四面体という条件から、|a|=|b|=|c|=rとすると、それらの内積やSの半径をrの式で表現できます。このとき|CR|がSの半径よりも大きいことを証明すればOKです。
(3) Qが辺BCをq:(1-q)に内分する点として定義して、それをSの式に代入してqを求めてしまえばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
