このシリーズでは、京都府立医科大学の数学の問題を解いていきます。
31回目の今回は1992年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます！）
第1問
関数の値域を求める問題です。
(1)素直にyをxで微分して、増減表を書けばよいでしょう。
(2) zの第2項は、y^2を計算することで計算できます。
(3) zはyの2次関数となるので、(1)で求めたyの範囲での最大値を考えていきます。このとき、軸の位置と(1)の結果の関係から、cの値による場合分けが発生することに注意します。
＜筆者の解答＞
第2問
3直線から等距離にある点の集合について考える問題です。
(1)(x,y,z)と各直線との距離をdとして、dをx,y,zの式で求めていきます。ここからdを消去することで実質２つの関係式が求まります。
(2) (1)の結果とx+y+z=0を連立していきます。(1)の2本の式を両辺足していくと見通しが良いでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
確率・期待値の問題です。
(1)X=kとなる確率をP(X=k)とすると、Xの期待値はΣkP(X=k)で計算できます。
(2)Akの座標は(cos2πk/n, sin2πk/n)で書けるので、f(k)=sin2πk/nとなります。このとき、En=Σf(k)P(X=k)で計算できて、極限は区分求積法を使うとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
微分方程式の問題です。
(1)S(t)とV(t)をそれぞれh(t)の式で表していき、与式の微分方程式に代入していきます。
(2)ごく標準的な解法になります。hの式を左辺に、tの式を右辺に寄せて両辺を積分することで一般解が求まり、h(0)=0を使うことで積分定数も確定できます。
(3) (2)ができていれば瞬殺ですね。
＜筆者の解答＞
