このシリーズでは、東京医科歯科大学の数学の問題を解いていきます。
32回目の今回は1991年です。
第1問
整数問題です。
(1)左辺が既に因数分解されているので、9を積の形に直して調べていきます。
(2) n=√(c^2+72)とおけば(1)と同様の形に帰着できますが、n≧9であることに注意です。
(3)こちらは、平方完成を利用することで、「文字式の積＝数字」の形に帰着させればよいです。
＜筆者の解答＞
第2問
円錐に関する問題です。
Wは、直線z=√3y, x=0をz軸周りに回転してできる円錐側面の内部となります。
(1) 球面とWを平面z=tで切った断面の面積を考えていきます。
(2)Wにある点Pが、(rcosΦ, rsinΦ, t) (但し0≦r≦|t|/√3)とパラメータ表示できることに注意し、OQとの内積を考えてcosθを予選決勝法で最大化していきます。
＜筆者の解答＞
第3問
微分方程式に関する問題です。
(1)基本的にyに関する部分とxに関する部分を分けて積分するのが定石です。
(2) f(x)は0≦x≦πで符号変化しないので、|f(x)|を積分したものがe^(-π)+1と一致するような積分定数を確定させればOKです。
指数関数×三角関数の積分は、原始関数を構築して解くのが一番ミスがないです。
(3)区間によって|f(x)|の標識が変わるので場合分けします。極大値についてはテンプレ通りの計算ですが、x=整数×πのときも微分不可能とは言え増減が逆転しているので極値にカウントされることに注意です。
＜筆者の解答＞
