このシリーズでは、東京医科歯科大学の数学の問題を解いていきます。
33回目の今回は1990年です。
第1問
整数問題です。
特に断りはないですが、今回の問題では「約数」を全て正の物と解釈して解いています。
(1) 約数が含む3の個数は0個～p個、5の個数は0個～q個なので、宅数の個数は(p+1)(q+1)です。
(2)(3)
条件a,bからn=2^(2+p)×3^(1+q)と書けることが分かります(p,qは0以上の整数）
そこから条件cを焼き直すと(p+3)(q+2)≧ 2^p×3^qとなります。
p≧3なら2^p>p+3. q≧2なら3^p>q+2となり条件は達成しようがないので、0≦p≦2か0≦q≦1のどっちかは成立してないとダメです。
その下で、条件cを満たすp,qを探していきます。
＜筆者の解答＞
第2問
多項式の漸化式に関する問題です。
(1)とりあえず漸化式を使って計算していけばよいでしょう。
(2) fn(x)＝Σan,k ×x^kとおいて、漸化式に代入していきます。その時に定数項を係数比較していけばよいです。
(3) (2)で作った式にx=1を代入することで漸化式が作れます。
(4) (2)で作った式をxで微分してからx=1を代入することで漸化式が作れます。
＜筆者の解答＞
第3問
曲線の1次変換に関する問題です。
(1)L1については、C1上の点(s, s^2+s)をfで移した点を求め、sを消去することで求まります。L2も同様です。
(2) L1,L2が複雑な形をしているので、C1とC2の交点をfで変換したほうが計算が楽です。
(3)L1とL2の上下関係に注意して積分計算していきます。
(4) SとL1,L2のPでの接線の傾きを全て計算していきます。
＜筆者の解答＞
