このシリーズでは、大阪大学の後期の数学の問題を解いていきます。
初回の今回は2012年です。
第1問
漸化式と、関連する極限の計算問題です。
(1)実際に漸化式に代入して求めていくだけです。この時点でanの一般項が予想できます。
(2) (1)の予想を帰納法で証明すればよいでしょう。漸化式で逆数を考えることで直接漸化式を解くことも可能です（別解にて紹介）
(3) シグマの引数を調整してあげると、区分求積法を使う形に帰着できます。
＜筆者の解答＞
(2)の別解
第2問
行列の積に関する場合の数の問題です。
(1)左辺と右辺を直接計算して比較すればOKです。
(2) 200個のQと2個のJを並べて掛け算するので、どの位置に2つのJを挟むかで積の式はQ^a×J×Q^b×J×Q^c (a,b,cはa+b+c=200となる0以上の整数）と書けます。
ここで、P(-θ)がP(θ)の逆行列なことに注意すると、(1)を使ってQ^a×J=J×Q^(-a)とJの順番を前に持ってくることができます。この原理を使ってJを左側に全部寄せてしまえば、J^2×Q^j =Q^j (j:整数)とQの累乗の形にまとまります。（J^2=Eです）
Qが120°回転を表す行列なので、Q^j=Eとなるjの条件は「jが3の倍数になること」です。なので、jが3の倍数になるような(a,b,c)の個数を数えてあげれば、それがN(200,4)になります。
(3) こちらも(2)と考え方は全く同じです。
＜筆者の解答＞
第3問
パラメータ表示された曲線に関する面積の問題です。
(1) h(t)=g(t)-g(1/t)の増減を調べてあげればよいです。
(2) f(t)=(s+1/s)/2となるtの個数を考えてあげましょう。
(3) (1), (2)の結果からCの概形が描けるので、置換積分を使って面積計算できます。
＜筆者の解答＞
第4問
方程式の解の小数部分に関する問題です。
(1) f(a)<0, f(a+1)>0はすぐに分かるので、少なくともa<x<a+1の範囲に実数解があることは分かりますが、それが「最大の実数解」になることを示さないといけません。方程式の左辺をf(x)とおいてf(x)の増減を考えるのですが、f''(x)まで考えないとうまくいきません。
(2) (1)の結果からr(n)=s(n)-nとなります。このとき、bn=s(s-n)となるのですが、n→∞のときs→∞でs-nの極限が不明なので、即座にbnの極限は求まりません。
ここは、そもそもの方程式をうまく使ってs-nを別の式で表現できれば見通しが良くなります。はさみうちの定理からs/n→1となることに注意します。
(3) bnが単調増加すると言えてしまえば、c≧(bnの極限値）が言えることになります。
＜筆者の解答＞
