このシリーズでは、平成の京大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
8回目の今回は1999年になります。
第1問
放物線と直線で囲まれる面積について考察する問題です。
まずは、y=x|x+2|のグラフと直線y=mxが3点で交わるmの条件を調べます。グラフを使って視覚的に調べてもよいですが、普通に方程式x|x+2|=mxを処理した方が誤りがないでしょう。
実際に図を描いてみると、m<2とm>2でS1とS2の形状が大きく変化することが分かるので、場合分けしてそれぞれに対し問題文の条件を満たすmがあるかを調べていきましょう。
積分計算が面倒ですが、代入すると0になる部分が出現するように調整するなどして、できる限り計算ミスをしないように慎重に進めましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
三角関数の最大化を考える問題で、結構頻繁に出題されるテーマです。
α+β+γ=πを利用すれば式からγを消すことができます。その上で予選決勝法を使うのですが、
1. αとβの対称性に注目して、α+β=X, α-β=Yと変数変換してから予選決勝法を使う方法
2. α,βのまま予選決勝法を使う方法
の２通りがあります。
どちらも難易度に大差はないですが、1の方が微分する回数が減るので若干楽かもしれません。
＜筆者の解答＞
第3問
漸化式に関する問題です。
(1)漸化式にひたすら代入するだけです。an, bnがどういう性質を持っているかを実験させる問題と言えます。
(2) (1)の結果から、nが奇数の時はan=bn, nが偶数の時はan=-bnだと予想できるので、それを帰納法で証明していきます。その過程で(2)の答えは自ずと求まります。
＜筆者の解答＞
第4問
いわゆる「等面四面体」の存在を証明する問題です。
「等面四面体」は、直方体から切り出すことで作ることができます。あとは四面体と直方体の辺の長さを文字でおいて、四面体の各面が「鋭角三角形」であること、△ABCの辺の長さがどうであろうと、直方体を構成できることを説明すればOKです。
＜筆者の解答＞
第5問
２次方程式の解に絡めた整数問題です。かなり細かな議論が必要な難問です。
大きくv=0の状況とv≠0の状況に分けることができます。
v=0のときは、２次の係数が1の整数係数の２次方程式が有理数解x=uを持つことになります。u=p/q (p.qは互いに素、q≧1)としたとき、q≧2だと矛盾が起こることを説明すればよいでしょう。
v≠0の時は、解と係数の関係からu=-a/2が分かります。この式の形から、aが奇数なのか偶数なのかで場合分けが発生します。
aが偶数の時は、3v^2が整数になると分かりますので、vが整数じゃない有理数の時に3v^2が整数にならないことを証明します。
aが奇数の時は、vが有理数だと仮定すると矛盾が起こることを証明するのですが、各文字の偶奇のチェックがなかなか大変です。
＜筆者の解答＞
第6問
体積が絡んだ極限の計算問題です。例によって(1)が(2)のヒントになっています。
(1) 問題文を読んだ瞬間に「平均値の定理」が連想できます。f(x)の原始関数をF(x)として、F(x)に対して平均値の定理を適用すると証明できます。
(2)まずは回転体の体積を求めるのが先決なので、積分計算してしまいましょう。
その上で、それをn等分した体積と、ynとの関係式を積分を使って書いてあげます。
求めたい極限の式に1-ynが含まれていて、積分区間もyn~1となっています。
ということで、ここで(1)の結果を使えばいいのでは？と思いついてほしい所です。
(1)を使うと、積分を、中身の関数で表現することができて、n→∞とすると、x=1での値を考えればよいと分かります。
＜筆者の解答＞
