先日行われた2024年度の北海道大学の後期数学を解いてみました。
第1問
分数関数の増減、積分に関する問題です。
(1)f'(x)を計算し増減を調べるという、教科書レベルの問題です。
(2) f(x)の分子が分母を微分したものになっているので積分はあっさりできてしまいます。anをlogの形にまとめて表現できるので、logの中身が0に収束したり発散したりしないようにkを決めてあげましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
2次方程式および分数式が整数になる条件を考える問題です。
(1)判別式を基本的には考えればよいのですが、k=1の場合はそもそも2次方程式ですらなくなってしまうので例外処理する必要があります。
(2)与式の増減を微分すると、整数値を取るとしたら1,2,3のどれかしかないことが分かります。なので、あとはこの３通りについてxを調べればOKです。
一応与式=kとおいて変形すると(1)の２次方程式に帰着できます。
＜筆者の解答＞
第3問
(1)ご丁寧にも「②と③を使って」とヒントがあるのでそれに従えばよいです。z3を消去するとz2^2=0以上の実数となるので、z2が実数だと分かります。
(2)z2が実数だと分かったので、②で複素共役をとってもz2は不変です。②で複素共役を取ってあげると①とうまい具合に噛み合い、z2とz3がz1だけの式で書けます。
その状態で③を使うと、|z1|=|z1+1|が分かります。
この時点でz1が実数か虚数かの場合分けが発生することになります。
(3)z1が虚数の場合、|z1|=|z1+1|は、0と-1の垂直２等分線を表すので、z1の実部は-1/2で確定し虚部のみが未知数になります。
これをもとにz2を計算し、z2が実数になるように未知数を決めていきましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
回転体の体積とその極限の問題です。
(1)(2)
定石通りの回転体の体積の積分計算です。(2)では２次式と三角関数が混在するので部分積分が有効です。
(3)分母にsint/tを作ることで、ヒントの形を出現させられます。
参考情報でヒントの極限の証明を2通り載せました。方やテイラー展開、方やロピタルの定理といういずれも大学1年レベルの数学の知識を使用します。
テイラー展開についてはこちらに書いてありますので、参考にして下さい。
バーゼル問題の証明その1 ～オイラーの証明～ - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
＜筆者の解答＞
↓ヒントの極限の証明（大学数学を一部使用）
