私立最難関の一角、早稲田大学の理工学部の問題を取り上げます。今回は2018年です。
第1問
3次関数の解の配置に関する問題です。
(1)α,βが実数だとするとP, A, Bが一直線に並んでしまってNGです。よって、α,βは共役な虚数となります。共役な虚数は実軸について対称な位置にあるので、あとは長さの情報を使って正三角形になる条件を考えましょう。
(2) (1)で△PABが描けていれば瞬殺です。
(3)PQ=AQ=BQからQの座標と半径を求めましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
2直線と放物線で囲まれた領域についての問題です。
(1) 互いの交点を調べて図に落とし込みましょう。
(2) (1)の領域の格子点を数えることになります。直線x= k (整数)上にある格子点を愚直に数えましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
（筆者注：(4)の証明内容はa=b=c=0)
(1) 有名な「√2が無理数なことの証明」と全く同様です。
(2)両辺にp^(1/3)をかければ一瞬です。
(3) (2)で証明した式と元の式から、p^(2/3)を消去することを考えます。
(4) a,b,cが0でないと仮定すると、p^(1/3)が有理数となってしまい(1)と矛盾し、さらに進めると、pが整数でなくなってしまい矛盾します。
＜筆者の解答＞
第4問
指数関数と三角関数の混じった関数のグラフについて考える問題です。
(1)は基本問題なので、解けなきゃダメです。
(2)
(ⅰ) g'(x) =0 を考えればよいです。
(ⅱ) 公式通りに積分を計算します。倍角の公式を使ってsinの2乗を1乗に直すなど色々テクニックを使う必要がありますが、変数変換をうまくこなうと(1)が使えて大分ショートカットできます。
(ⅲ) 無限等比級数の簡単な計算です。
＜筆者の解答＞
第5問
立方体の頂点から4点ずつ選んでできる立体（他）の交わりを考える問題です。正直、空間認識能力に優れていないと対応は厳しく、特に(3)は捨て問にしてよいと思います。
(1)(2) とにかく混乱しないように丁寧に図を描いてみましょう。この大問は、それ以外の攻略法はないです。
(3) 見通しをよくするためにXは必ず頂点にA1を含むものとして考えます。このときにXとして(1)(2)以外にどんな図形があるかを考えるしかありません。さらに各図形を作れるようなA1以外の点の選び方も考えないといけなくてかなり厳しい難問です。
＜筆者の解答＞
