旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の2016年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -2016年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
面積の計算問題です。
円の式と直線の式はストレートで分かりやすいですが、3次関数の形状次第では領域が厄介な形となってしまいそうです。（例えば交点がたくさん出てくると非常に厄介になります）
が、実際に3次関数のグラフを微分を使って書いてみると、3次関数が円の中にすっぽり収まってしまい、上記の懸念が杞憂に終わります。ありがたく分割+積分で面積を求めてあげましょう。
<筆者の回答>
第2問
確率の問題です。
1回ボタンを押して「アタリ」が出る確率をpとおいて、問題文の条件からpを求めていきます。
「1回以上アタリが出る確率」は、余事象「全てハズレが出る確率」を使って計算するのが良いです。
<筆者の回答>
第3問
n進法の問題です。
n進法のままだと考えにくいので、全ての数字を10進法に直して考えてあげましょう。
直し方は、(n進法で)abcd →(10進法で) a×n^3 + b×n^2 + c×n + d となります。
最終的に、（指数関数) = (多項式) の方程式を解くことになるのですが、基本的に指数関数の方が圧倒的に増えるスピードが速いということに注目するとよいでしょう。答案には帰納法による説明を書いておきました。
<筆者の回答>
第4問
理系第3問と共通・・・と思いきや、よく見ると「重心」となっています。（理系は「外心」)。これによって、解き方が全く異なる問題になっています。
理系の「外心」はベクトルに不向きな点だったので初等幾何で処理するしかなかったのですが、文系の「重心」はベクトルと非常に相性がいい点なので、テンプレ通りにベクトルを使って証明していきます。
各面の重心をOA,OB,OCベクトルで書いて、対面への垂線が重心を通るという条件から、
・OA=OB=OC
・これら３つの内積が全て等しい
・OA=AB
ということを示すのが目標です。
<筆者の回答>
第5問
3次方程式の虚数解について考察する問題です。答案が書きにくい問題ですね。
条件(ロ)については別段変なことはありません。この時は、実数解1つ、共役な虚数解が1組の合計３つが解となります。以下実数解をr, 虚数解をβ, β* とします。
問題は条件(イ)の処理です。上記の3つ全てに対して、3乗したものも解になると言っているので、r,β, β* を3乗したものが、r,β, β*のどれかに必ずなっていることになります。
ここで注意すべきは、
1. 実数の3乗→必ず実数
という点です。
1から、r^3 = rでないと(イ)をクリアできないことが分かるので、rが求まります。
2から何が言えるかというと、まずはx^3 = xは実数解しか持たないので虚数であるβを3乗してもβにはなりえません。よって
・β^3 = β*
・β^3 = r
の2パターンに大きく分かれるので、それぞれについてβを求めましょう。
以上の全パターンを列挙すれば答えです。
<筆者の回答>
