このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
初回の今回は2019年になります。
第1問
確率と、その極限を計算する問題です。
(1) n回中k回アタリを引く確率を求めればOKです。
(2) nと関係のない部分を前に出して、nの絡む部分を考えます。階乗の部分と分母のnのk乗の部分は両方ともk個の数の掛け算になっているので、分数をバラバラに分解してあげると極限が計算できます。
(3) p(k+1)とp(k)の比を取って1との大小関係を調べるのが定石でしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
三角形の重心の軌跡、およびその軌跡の通過領域を考える問題です。
(1) OG=(OA+OP)/3のベクトル計算でOKです。
(2) tを消去すればYとXの関係式が求まります。
(3) (2)と同じようにすればGの軌跡が放物線だと分かります。その放物線の通過領域を考えることになりますが、
・xを固定してaを動かしたときのyの取りうる値の範囲を調べる方法（＝純像法、本解答）と、
・放物線の式をaの方程式と見なしてa≧1の実数解を持つようなx,yの条件を調べる方法（＝逆像法、別解）
の２通りで解けます。
＜筆者の解答＞
第3問
複素数平面の問題です。
(1) Cの式が|z-α|=rとかけるので、そこにz=1/wを代入して式変形していきましょう。最後の半径を出す場面で分母に絶対値を付けるのを忘れがちなので要注意です。
(2) (1)の結果を使って、αが実数か純虚数になることを示しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
双曲線に関する積分計算の問題です。
f(x)は双曲線の一部であり、g(t)は「双曲線関数」と呼ばれる関数です。
(1)微分で調べてもよいですし、相加相乗平均でも示せます。
(2) f( g(t) ) を計算すると、非常に綺麗な形になって、積分計算が容易い形になります。
(3) 面積を計算する過程で(2)の結果を使うことになります。あとは(2)でのaがpの式でどう書けるかを調べることに終始します。
＜筆者の解答＞
