このシリーズでは、平成の東北大文系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
基本的に文系ユニーク問題のみ解きますので、理系との共通問題については、理系の記事をご参照ください。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系後期数学 -1990年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
最終回の今回は1990年になります。
第1問
1次変換の問題です。
(1)C上の点(x,y)を原点の周りに30°回転した結果(X,Y)に移るとして、(x,y)と(X,Y)の関係式を求めていきましょう。
(2) いきなりAを求めるのは厳しいので、(1)の知見を活かし、(X,Y)を単位円周上の点に移す変換Bをクッションとして考えてあげます。すると、A=B×(30°回転行列)で求まります。
＜筆者の解答＞
第2問
放物線で囲まれる面積についての問題です。
2本の放物線の交点x座標がx=a, 2aになることに注意します。
(1)このときはx=a,2aの両方がx≦1に収まるので、a~2aで積分すればOKです。
(2)このときはx=aだけがx≦1に収まるので、a~1で積分します。
(3) 最大値を持ちうるのは(2)の場合分けなので、Sを微分して増減を調べます。
＜筆者の解答＞
第3問
軌跡を求める問題です。
P(a^2, a), Q(b,b^2)とおいて条件を整理して、p,qの関係式を求めていきます。軌跡から除外すべき点が存在することに注意です。
＜筆者の解答＞
第4問
数列の大小関係を調べる問題です。
(1) f(x)-3/5を計算すると、x-3/5で括ることができます。
(2)帰納法のような考え方で攻めていきますが、図を描いてあげると、あるkについて2/5<x2k<3/5が成立すると、3/5<x2k+1<4/5, 2/5<x2k+2<3/5が芋づる式に分かります。
あとは、(1)で求めた関係式を使って、x2k+2 -x2kと、x2+1 -x2k-1の符号を調べていきましょう。
＜筆者の解答＞
