このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
4回目の今回は2016年になります。
第1問
パラメータ表示された曲線の長さに関する問題です。
(1) xとyをθで微分して、公式に当てはめます。
(2) k(t)はcosの6乗+sinの6乗の形になるので、因数分解を駆使してできる限り簡単な形にしていきましょう。(1)の結果も使うと、X=sint^2と変数変換して考えると見通しがよくなります。
＜筆者の解答＞
第2問
三角形が放物線に挟まれる条件を考える問題です。
(1) OA, OB, ABが考える領域に全て収まっている条件を考えます。OAについては0<a<2の時点で担保されているので、残りの2辺の考察がメインです。
放物線に引いた接線の情報を使うと楽に検討できます。
(2) 面積をa,bの式で表現して、予選決勝法で最大値を求めます。(1)でbの範囲がaの式で書けているので、最初にaを固定するとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
複素数平面の問題です。
(1) |z|×|w|=1, wがzの実数倍で書けることを利用します。
(2) (3)ともに、zの満たす円の方程式に(1)の結果を代入してwの式を求めていきます。
(2)の場合は直線に、(3)の場合は円になります。
＜筆者の解答＞
第4問
整数の1の位を求める問題です。
(1)実際にan+2を計算してみると証明できます。
(2)an+2の1の位を知りたければ、an+1とanの1の位が分かれば十分です。(1)の漸化式を使って愚直に1の位を順番に調べていきましょう。すると、anの1の位が12周期で循環することが分かります。
(3) (1-√2)^1000が0より大きく1より小さいので、考える整数がa1000 -1と一致することが分かります。(2)からanの1の位の周期は12だったので、1000を12で割った余りが分かればOKということになります。
＜筆者の解答＞
