理系数学の最難関の一角、東京工業大学の1992年の問題を取り上げます。
第1問
分数関数の取りうる値の範囲を調べる問題です。
分数関数を考える上では、分母=0となる瞬間があるかないかが極めて重要です。もし分母=0となると、分子=0とならない限り必ず発散してしまうので、1以外の整数値を余裕で取ってしまうので、不適だと言えます。まずはこうなってしまうkを除外しましょう。
分母=0になる可能性を排除出来たら、あとは素直に微分して増減を調べてあげればよいでしょう。極小値が0より大きい、極大値が2より小さいkの条件を考えればよいです。
＜筆者の解答＞
第2問
1次変換についての問題です。
条件(2)については長ったらしいですが、要するに「Xとy=xとの距離」＝「X'とy=xとの距離」が常に成り立つ、という意味です。
X'(s,t)とおいて、(1)からs,tをx,yの式で書き、(2)を処理してx,yの恒等式に持ち込めばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
放物線と直線で囲まれる面積を計算する問題です。東工大にしては超絶簡単な問題です。
まず放物線と2点交点を持たないといけないので、lがy軸平行となるケースは考えなくてよいです。よってlの式をy=m(x-1)+c と書くことができます。
解と係数の関係を使って面積をmの式で求めて最小化すればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
不連続な関数列に関する問題です。
(1) とりあえず実験してね、という問題です。f1,f2のグラフを描いて検討すればミスなく検討できると思います。この時点で規則性を見破りたいところです。
(2) (1)の結果からfn(x)の式を求めることができます（答案では、証明は省いております）。すると、m≦nのときはfn(p)=0となることが分かり、n→∞の場合を最終的に考えるので、m>nの場合は考えなくてよいことになります。
＜筆者の解答＞
第5問
積分の計算問題です。
(1) In - In-1 を素直にごり押しで計算します。分母のcosxが邪魔なので、これをうまく約分できるように式変形を進めましょう。
(2) (1)の結果を使えば実質I1を計算するだけで良くなります。I1の計算も容易いです。
＜筆者の解答＞
