理系数学の最難関の一角、東京工業大学の1991年の問題を取り上げます。
第1問
n!の末尾に並ぶ0の個数を調べる問題です。
末尾に並ぶ0の個数は、結局その数が10で何回割り切れるかを表しています。n!の場合は、素因数分解すると2と5が大量に出現するのですが、2の個数の方が多くなるので、5の個数がそのままn!が10で割り切れる回数を表すことになります。よって1~nに含まれる素因数5の個数が何個あるのかを調べればよいことになり、それは、1~nに含まれる5の倍数、25の倍数、125の倍数、・・・の個数をすべて足したものになります。
(1)は、上記を使って計算します。
(2)は、ガウス記号を不等式で挟むことによって、はさみうちの定理に持ち込みます。
＜筆者の解答＞
第2問
楕円の接線を交線とする平面のz切片を求める問題です。
楕円の接線lの式が求まったら、そこにazという項を追加してあげればそれがπの式になります。(1/2,1,1)を通るという条件からaを求めることができます。
よって、接点を(cosθ, 2sinθ)と置くことからスタートして、kをθの式で表してあげましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
体積の問題です。
やること自体は単純で、
・AC, BDの式を計算する （回転すると円錐になるので高さと底面半径が分かればOK)
・C,Dの座標を求める
・回転して積分する
なのですが、計算が非常に長く大変です。
＜筆者の解答＞
第4問
(1) x≧0でf'(x)≧0となるa,bの条件を求めます。f''(x)まで調べるとaの正負によって場合分けが発生することが分かります。
(2) 逆関数の積分が出てきたら、面積を使ってf(x)の積分に焼き直すのが鉄則です。
それを使って与式を計算するとa,bの1次式（直線）になるので、線形計画法を使って、その直線とGが交点を持つ条件を考えてあげればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第5問
3次方程式を絡めた確率の問題です。
有理数係数の方程式x^3 -ax^2+bx-c =0 の整数解になりえるものは、cの約数だけです。そして、x<0のときは、左辺は必ず負になってしまうので、方程式の解になりえません。よって、整数解の候補は、cの「正の」約数だけです。
よって、cの値によって場合分けして、総当たりにcの約数のどれかが方程式を満たすa,bの条件を調べつくしましょう。a,b,cがすべて1以上6以下になることにも要注意です。
＜筆者の解答＞
