このシリーズでは、東京慈恵会医科大学の数学の問題を解いていきます。
初回の今回は2022年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
確率の問題です。
A,Bの中身は4状態あるので、各状態の推移を考えていけばよいです。イについては実は直前がアの状態となっているので、アができていれば瞬殺できます。
＜筆者の解答＞
第2問
絶対値付きの関数にかんする増減と回転体の体積を計算する問題です。
(1) f'(x)がx=-aで連続になっているか否かを調べればいいので、xと-aの大小関係で場合分けした上で、f'(x)で左から-aにxを近づけたとき、右から-aにxを近づけたときで比較します。
(2) f(x)のグラフを書くと最大値がaの式でシンプルに求まります。
(3)定石通りの積分計算ですね。
＜筆者の解答＞
第3問
約数の個数に関する問題で、発想力寄りの問題です。
確か似たような問題が阪大でも過去に出てたはずです。
(1)問題文の条件(ii)は結局「ak-1 -a2 ≦3」であれば十分なので、これをもとに考えていきます。
まず、k=2のときはmが素数となってしまうので(i)に反し不適なことがすぐに分かります。
次に、a1~akは順に大きくなっていくので、最低でも１ずつ増えていくはずです。そう考えるとak-1 ≧a2 + (k-3)と評価できるので、k≧7の時点で(ii)に反してしまうので不適となります。
この時点でkは3,4,5,6のどれかに絞れますが、ここからさらにk=3,4だけに絞るには別の切り口が必要になります。
注目すべきは、mが含んでいる「素因数の個数」と「約数の個数k」です。
もし素因数が3つ以上あるとすると、その時点で約数の個数が8個以上となってしまうので不適です。よって、素因数の個数は2つ以下となるので、1個の場合と2個の場合とでa2, ak-1を調べて(ii)が成立しうるかを逐一調べていくことになります。
(2)与式を2項定理で展開して、mod m=a2^2を考えてあげればOKです。
＜筆者の解答＞
第4問
複素数平面に関する問題です。
(1)z=cosθ+isinθとかけるので、wをθの式で表せばよいでしょう。結果Cは楕円となることが分かります。
(2)方針に戸惑いますが、ここはxy平面の話に焼き直して計算するのがベストかなと思います。
αを表す点をA(a,b)として、lとCの交点の座標を調べていきます。与式が対称な形をしているので、解と係数の関係をうまく使うとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
