私大文系入試で最高難易度と呼び声の高い、早稲田大学商学部の数学の問題を解いていきます。
12回目の今回は2011年です。
第1問(1)
積分の付いた関数の増減を考える問題です。
xの値によって絶対値の外れ方が変わるので、場合分けして積分を計算します。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
約数の積に関する問題です。
10^nの約数は、2^i×5^j (i,jは0~nの整数)という形で書けるので、iを固定した場合の積をまずは計算し、その後に、その結果をiを動かして全部かけてあげればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
対数が無理数になる条件を考える問題です。
実は、log3(n)が有理数になるようなnは、n=3^mの形に限られます。ということで、有理数になるケースがレアで、ほとんどの場合は無理数になります。
となれば、2011以下の、3^mとなる自然数の個数を数えてしまえば事足ります。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
抽象的な関数に関する問題です。
y=f(x)のグラフをx軸方向に-3平行移動したものを、y=g(x)=f(x+3)とすると、(i)からg(-x)=g(x)となって、y=g(x)のグラフがy軸対称なことが分かります。
y軸対称なグラフが、x軸と５回（特に奇数回）交わることが(ii)から分かるので、これらの解もy軸対称になっていて、なおかつ真ん中の値が0になることが分かります。
こうして考察した後に、x軸方向に+3平行移動して元のy=f(x)の話に戻してあげればよいです。
＜筆者の解答＞
第2問
球面と、その外側にある点との距離を考える問題です。ちなみに、阪神は関係ありません笑
一応ベクトルの表記がありますが、正直図形的に初等幾何で解いてしまった方が早いと思います。
(1)SはOを中心にした半径1の球面なので、S上の点のうち、Aに最も近い点と最も遠い点を図形的に見てあげます。
(2) 問題文の条件から、Cが、平面x=3上にある円だと分かるので、Pの座標をパラメータ表示できます。ということで、Pを固定してあげると(1)と同じ要領でPQの最小値と最大値が求まるので、その後にPを動かしてそれぞれの最小値・最大値を考えてあげればOKです。
＜筆者の解答＞
第3問
数列に関する問題です。
(1)とりあえずn=7までで実験してみろという小問です。漸化式のルールに従って順に調べていきます。
(2)これがこの問題の核心になる小問です。
ak=kから順番に漸化式で調べていくと、
akから偶数番目の項はk→k-1→k-2→・・・と１ずつ減っていき、奇数番目の項は2k+1→2k+2→2k+3→・・・と１ずつ増えていくことが分かります。
この規則性が見えてくると、a3k=0, a3k+1 = 3k+1と分かって、m=3k+1だと分かります。
(3) (2)で調べた規則性から、2011に近いak=kとなるkを見つけることができ、そこから上記の規則でa2011を調べることができます。
＜筆者の解答＞
