私大文系入試で最高難易度と呼び声の高い、早稲田大学商学部の数学の問題を解いていきます。
11回目の今回は2012年です。
第1問(1)
対数の方程式を解く問題です。
対数の底を3に統一して、log3(x)の２次方程式に帰着させますが、xの偶奇による場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
積分方程式の問題です。
積分は「tに関する」積分なので、係数のxは外に出すことができます。なので∫f(t)dt=a, ∫{f(t)}^2dt=bとおいて、a,bの連立方程式を解いてしまえばよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
数列に絡めた、三角関数の計算問題です。
漸化式は、露骨にcosの２倍角の公式の形をしているので、一般項がan=cos{2^(n-1)θ}と書けることはすぐにわかるでしょう。
ということは、a4=a5なら、cos8θ=cos16θとなるので、こうなるθを考えていきます。
この解き方は、おそらく積和の公式で積の形=0としてあげるのが一番良いと思います。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
正八面体の体積に関する問題です。
１辺の長さがaとなる正八面体の体積と、１辺の長さがbとなる正四面体の体積をそれぞれ考え、後者の値が1, aがbの半分、という２つを使って求めていきます。
という方法で解答を書いたのですが、実は、
「元の正四面体から、半分サイズの正四面体を四隅から取り除けば、正八面体になる」という事実を使えば瞬殺だと気付きました・・・・
＜筆者の解答＞
第2問
長方形の重なりの面積を考察する問題です。
(1)正方形PQRSは、aによらず合同で中心が直線y=x上を移動すると分かるので、図から交わりを持つ条件を考えることができます。
(2)aの値によって重なりの形状が変わるので、細かく場合分けして面積計算する必要があります。
＜筆者の解答＞
第3問
ベクトルに関する問題です。
(1) f(P)を展開して、平方完成のようなことを行うと最小値mが求まります。
この時に s=Σai, t=Σ|ai|^2 と文字でおいておくと、スッキリしますし今後の見通しもよくなります。
(2) （＊）の式を展開してあげると、最終的にs,tの式に書き直すことができます。それがmの定数倍になっているので、mの値が求まることになります。
(3) (2)の結果から、f(C)=Σ|CAi|^2=20とわかります。このとき、もし問題文の条件を満たすAiが6個以上あるとその時点で矛盾してしまいます。なので、5個以下です。
その5個の場合でA1~A100を実際に配置できるので、最大値は5個です。
＜筆者の解答＞
