このシリーズでは、平成の京大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
16回目の今回は1991年になります。
第1問
逆関数のグラフと面積を考える問題です。
(1) ①からx=の式に変えるのは容易ですが、xはマイナスの場合もあるので±に分けることを忘れてはいけません。(2)も見据えるとルートが入ったままだと邪魔なので、sinをcosに変えて倍角の公式を使うとルートを外せます。
グラフを書く時は、y軸とx軸を逆向きにしたうえで通常のグラフを書くとよいでしょう。
(2) xで積分するのは厳しいので, 変数変換でyでの積分に変えて計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
正八面体の体積に関する問題です。
(1)h0は、もとの正四面体の高さの半分なので、正四面体の高さを求めましょう。正弦定理と三平方の定理を使います。
(2) 正八面体を、底面と平行な高さzの平面で切った時の切り口を考え、その面積を積分することで高さhの場合の水量を計算すればOKです。
＜筆者の解答＞
第3問
不等式の証明問題です。
問題文のままでは抽象的なので座標を設定するとよいです。a=(1,0,0), b=(cosγ, sinγ, 0)としても一般性を失いません。
その状態で、c=(p,q,r)とおくことで、内積の条件からcosα, cosβをp,q,r,cosγの式で求めることができます。これらを与式に突っ込めば範囲は容易に求まります。
等号成立は、「=0」についてはr=1かつγ=π/2なので、求めた条件に一通り代入すればa,b,cがすべて直交する時だと分かります。「=1」についてはr=0またはγ=0,πのときで、いずれの場合もa,b,cが同一平面上にあります。
＜筆者の解答＞
第4問
2次曲線上の格子点を数える問題です。(2)のヒントとして(1)が与えられていますが、(1)が少々難儀します。
(1)は、fの逆操作によってC1上の点(cosθ, sinθ)が必ずC2上の点に移る、という条件からa~dの条件式が出るのですが、それだけではa~dを特定するのは困難です。
ここは、C2の特別な点についてfをかますことで、a~dの必要条件を先に求めると見通しがよくなります。ここでa~dの候補を絞ってから、先に作った条件式が成立するかをチェックするという方針で進めます。
(2) (1)が分かれば、C2上の点(X,Y)がfによってC1に移るという条件から、具体的に格子点になる(X,Y)を特定することができます。
＜筆者の解答＞
第5問
期待値の計算問題です。なかなかえぐい計算量の問題です。
基本的には、確率変数=kとなる確率pkを計算→Σkpkで期待値を計算するという流れが(1)~(3)共通です。
(1)実は一番えぐいのがこの小問です。
X1+Y2=kとなる確率を計算するのですが、X1+Y2=kとなる組み合わせの個数を探すのに、kの値の範囲での場合分けと、kの偶奇による場合分けと計4種類の場合分けが発生します。
kの偶奇による違いは一応(-1)^kを導入することで解消できますが、それでも期待値のシグマ計算はかなり大変です。
一応結果はn+1となり、直感とも合います。
(2)こちらも考え方自体は一緒で、X1=mとなるような(X1, Y1)の組み合わせを数えることで、確率と期待値が計算できます。(1)に比べれば計算は格段に楽です。
(3) Y2=Lとなるような(X2, Y2)の組み合わせを考えるのですが、その前にどの数字が２つ取り除かれるかで状況が変わります。
・Lより小さい2つが除かれた
・Lより小さい数字が1つ、大きい数字が1つ除かれた
・Lより大きい2つが除かれた
それぞれに場合分けして確率を計算して、期待値を計算します。
この(3)は、この場合分けによる検討がメインです。
＜筆者の解答＞
第6問
不等式評価の問題です。
(1)左辺ー右辺を微分して増減を調べるお馴染みの流れです。右辺がx=aでの接線でy=e^xが下凸だから・・・という証明方法でもOKです。
(2) (1)でxをsinπxに、aを2/πに置き換えて与式に代入してあげれば、簡単に証明できます。
＜筆者の解答＞
