東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の1989年の問題を取り上げます。最終回です。
第1問
2次関数と対数関数が接する条件を求める問題です。
(1)接点のx座標をx=tとしたとき、y=f(x),y=g(x)が接する条件は、f(t)=g(t)とf'(t)=g'(t)が同時に成立することです。
(2) 図を描いて積分計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
体積の問題です。本セット最難問です。
まず、F1, F2がへんてこな位置にあると計算が手に負えなくなってしまいます。ここはF1, F2をx軸上に固定して考えてしまいましょう。
このとき、P(X,Y,Z)とおいて、条件(ⅱ)を処理していきます。なかなか大変ですが、うまく工夫して式変形していきましょう。
そうすると、考える立体が、ラグビーボールの内側かつ半径rの球の外側になることが分かります。
求まったラグビーボールの対称性から、平面x=tによる断面を考えると見通しが良いでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
1次変換についての問題です。
(1)Aを文字で置いて、問題文の条件を丁寧に処理していきましょう。
(2) Pn (xn, yn)の漸化式を作ってxn, ynを求めましょう。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
確率の問題です。
(1)表が連続せずn回目が表になる出方をAn通り、同じくn回目が裏になる出方をBn通りとして、An,Bnの漸化式を立てて考えましょう。
(2) (1)からフィボナッチ数列が登場するので、順繰りに求めていきましょう。
＜筆者の解答＞
第4問(b)
等面四面体についての証明問題です。
AB=CD, AC=BD, AD=BCのとき、四面体の4つの面は全て合同になります。このような四面体は、直方体から切り出して作ることができます。
もし面が鋭角三角形でなければ、そんな直方体が作れないことを示します。
＜筆者の解答＞
